cho \(S_n=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^n-2\)là một số tự nhiên

Tìm số tự nhiên n để S_n là số chính phương

Với số tự nhiên n , \(n\ge3\)

Đặt  \(S_n=\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\) 

Chứng minh rằng \(S_n< \frac{1}{2}\)

Với số tự nhiên n, \(n\ge3\). Đặt \(S_n=\dfrac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\dfrac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\dfrac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\). Chứng minh: \(S_n< \dfrac{1}{2}\)

Chứng minh \(S_n=\left(5+2\sqrt{6}\right)^n+\left(5-2\sqrt{6}\right)^n\) là một số nguyên với mọi \(n\in N^{\cdot}\)

Với mỗi số nguyên dương \(n\le2008\)

Đặt \(S_n=a^n+b^n\) với \(a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) và \(b=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)

CMR với \(n\ge1\) ta có \(S_n-2=\left[\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^n-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^n\right]^2\)

Cho \(S_n=\frac{1}{n^2\left(n+2\right)\sqrt{n+1}}\)Chứng minh rằng: \(S_1+S_2+...+S_n< \frac{1}{2\sqrt{2}}\)

Cho \(S_n=\frac{2}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)Chứng minh rằng: \(S_1+S_2+...+S_{2017}< \frac{2017}{2019}\)

Cho biểu thức \(S_n=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^n+\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^n\) với n nguyên dương

Chứng minh \(S_{2n}=S_n^2-2^{n+1}\) áp dụng tính \(S_4;S_8\)

Với mỗi số nguyên dương \(n\le2008\) đặt \(S_n=a^n+b^n\) với \(a=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\), \(b=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\)

CMR với \(n\ge1\) ta có \(S_n-2=\left[\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^n-\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^n\right]^2\)