Cho đường tròn tâm O .Từ điểm A ngoài đường tròn tâm O kẻ tiếp tuyến AB,AC với B,C là tiếp điểm .M thuộc cung nhỏ BC .Từ M kẻ MK ,HM và MI tương ứng vuông góc với AB,AC,BC .Kẻ MB cắt IK tại E .MC cắt IH tại F
a) C/m tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp
b) c/m MI^2=MH.MK
c) C/m EF vuông góc với MI
m.n giúp e câu c với ạ
Từ điểm A ở ngoài (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB , AC với (O) , ( B ,C là 2 tiếp điểm ) . Trên cung nhỏ BC lấy M bất kì , kẻ MI , MH , MK lần lượt vuông góc với BC , CA, AB . KI cắt BM tại P ,MC cắt HI tại Q. CMR:
a, MI2 = MK . MH
b, PQ vuông góc MI
c, Nếu KB = KI thì IH = IC
Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn ấy (B, C là các tiếp điểm và B ≠ C). Điểm M thuộc cung nhỏ BC (M ≠ B và M ≠ C). Gọi I, H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên CB, BA, AC. Biết MB cắt IH tại E, MC cắt IK tại F.
1) Chứng minh bốn điểm M, K, I, C cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh và MI2 = MH.MK
3) Chứng minh EF ^ MI.
a) Vì AB là tiếp tuyến (O)
=> AB⊥OB
=> ABOˆABO^=900=900
Vì AC là tiếp tuyến (O)
=> AC⊥OC
=>ACOˆACO^ =900=900
Ta có: ABOˆ+ACOˆABO^+ACO^ =900+900=1800=900+900=1800
=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) Vì tiếp tuyến AB cắt tiếp tuyến AC tại A
⇒{AB=ACBO=CO⇒{AB=ACBO=CO
⇒⇒ AO là đường trung trực ứng BC
⇒⇒ AO⊥BC ( mà E∈BC)
⇒⇒ BE⊥AO (đpcm)
Xét ΔABO có: ABOˆABO^ =900=900 (cmtrn)
BE⊥AO (cmtrn)
⇒⇒ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
⇒⇒ AO⋅OE=OB2AO⋅OE=OB2 (mà OB=R)
⇒OA⋅OE=R2⇒OA⋅OE=R2 (đpcm)
c) Vì tiếp tuyến BP cắt tiếp tuyến PK tại P
⇒PB=PK⇒PB=PK
Vì tiếp tuyến KQ cắt tiếp tuyến QC tại Q
⇒KQ=QC⇒KQ=QC
Ta có: PAPQ=AP+PQ+AQPAPQ=AP+PQ+AQ =AP+PK+KQ+AQ=AP+PK+KQ+AQ
⇔PAPQ=(AP+PB)+(QC+AQ)⇔PAPQ=(AP+PB)+(QC+AQ)
⇔PAPQ=AB+AC⇔PAPQ=AB+AC
Vì AB+ACAB+AC không thay đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC
⇒⇒ Chu vi tam giác AQP không thay đổi khi K thay đổi trên cung nhỏ BC (đpcm).
d) Tự CM: ΔMOP∼ΔNQOΔMOP∼ΔNQO
⇒MPNO=MONQ⇒MPNO=MONQ ⇔MP⋅NQ=MO⋅NO=MN2⋅MN2⇔MP⋅NQ=MO⋅NO=MN2⋅MN2
⇔MP⋅NQ=MN24⇔MP⋅NQ=MN24
⇔MN2=4⋅(MP⋅NQ)⇔MN2=4⋅(MP⋅NQ)
⇔MN=2⋅MN⋅NQ−−−−−−−−√⇔MN=2⋅MN⋅NQ
Áp dụng bđt Côshi ta có:
2⋅MP⋅NQ−−−−−−−−√≤MP+NQ2⋅MP⋅NQ≤MP+NQ
⇔MN≤MP+NQ⇔MN≤MP+NQ (đpcm).
điểm) Cho đường tròn (O), từ điểm A ở bên ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC (B và C là các tiếp điểm). Từ điểm M trên cung nhỏ BC kẻ MI, MH, MK lần lượt vuông góc với BC, AC, AB (leBC; HE AC; K = AB)
a) Chứng minh tứ giác MHCI là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh góc MIH góc MBC và MF = MHMK
a)Vì `MI bot BC`
`=>hat{MIC}=90^o`
`HM bot HC`
`=>hat{MHC}=90^o`
`=>hat{MHC}+hat{MIC}=180^o`
`=>` tg HMIC nt
b)Vì HMIC nt
`=>hat{HCM}=hat{MIH}`
Mà `hat{HCM}=hat{MBC}`(góc nt và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MC nhỏ)
`=>hat{MIH}=hat{MCB}`
Đoạn còn lại thì mình không biết điểm F ở đâu ker
Cho đường tròn tâm (O), từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB và AC (B,C là các tiếp điểm) với đường tròn (O).Lấy M là một điểm thuộc cung nhỏ BC (M không trùng với B và C) của đường tròn (O) . Từ M hạ MI, Mh và MK lần lượt vuông góc với BC, AC và AB (I thuộc BC, H thuộc AC, K thuộc AB).
a. chứng minh các tứ giác BIMK và CTMH nội tiếp đường tròn.
b. Chứng minh góc KBM = góc IHM.
c. Gọi E là giao điểm của MB và IK; F là giao điểm của của MC và IH. Chứng minh EF vuông góc với IM.
chỉ cần giải câu c, không cần giải câu a,b (a,b giải được rồi)
từ A ở ngoài đường tròn (O;R) kẻ tiếp tuyến AB;AC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm) . M là điểm trên cung nhỏ BC (M khác B và C) tiếp tuyến tại M cắt AB, AC thứ tự tại E ,F
a) OA vuông tại góc BC
Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
=>AB=AC
Ta có: OB=OC
AB=AC
Do đó: OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC
cho (O;R) từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AB và AC (B,C là tiếp điểm)
từ điểm m thuộc cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ 3 với đường tròn tiếp tuyến này cắt AB,AC lần lượt tại D và E. OD và OE lần lượt cắt BC tại I và K chưng minh OM,DE và IK đồng quy
Cho đường tròn tâm O, bên ngoài đường tròn lấy điểm A. kẻ tiếp tuyến AB, AC( B,C là tiếp điểm). trên cung nhỏ BC lấy M, kẻ tiếp tuyến với O cắt AB, AC lần lượt tại D, E. Chứng minh: góc DOE= góc ACB
Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn, kẻ tiếp tuyến AB, AC. Gọi M là điểm nằm trên cung nhỏ BC
( M không thuộc OA). Từ M kẻ MH, MI, MK lần lượt vuông góc BC, AB,AC tại H, I, K. Chứng minh:
a) BIMH, CHMK nội tiếp
b) MH2 = MI. MK
c) E là giao điểm của BM và HI, F là giao điểm của CM và HK. Chứng minh: HEMF nội tiếp
