a: S.ABC là tứ diện đều nên ΔABC đều

=>\(\widehat{BA;AC}=\widehat{BAC}=60^0\)

b: Xét ΔSAC có M,N lần lượt là trung điểm của SA,SC

=>MN là đường trung bình của ΔSAC

=>MN//AC

=>\(\widehat{MN;BC}=\widehat{AC;BC}=\widehat{ACB}=60^0\)

c: Ta có: ΔABC đều

mà AH là đường trung tuyến

nên AH là phân giác của góc CAB

=>\(\widehat{CAH}=\dfrac{\widehat{CAB}}{2}=30^0\)

\(\widehat{MN;AH}=\widehat{AC;AH}=\widehat{CAH}=30^0\)

a: \(\widehat{AB;BD}=\left[{}\begin{matrix}\widehat{ABD}\left(\widehat{ABD}< 90^0\right)\\180^0-\widehat{ABD}\left(\widehat{ABD}>90^0\right)\end{matrix}\right.\)

b: Xét ΔACD có N,K lần lượt là trung điểm của AC,AD

=>NK là đường trung bình của ΔACD

=>NK//CD

Xét ΔABD có M,K lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>MK là đường trung bình của ΔABD

=>MK//BD

=>\(\widehat{MK;NK}=\widehat{BD;DC}=\widehat{BDC}\)

c: \(\widehat{NK;BD}=\widehat{BD;DC}=\widehat{BDC}\)

d: \(\widehat{NK;BC}=\widehat{CD;CB}=\widehat{DCB}\)

e: Xét ΔBCD có

P,Q lần lượt là trung điểm của BC,BD

=>PQ là đường trung bình của ΔBCD

=>PQ//CD

Xét ΔABC có M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MN là đường trung bình của ΔABC

=>MN//BC

=>\(\widehat{MN;PQ}=\widehat{BC;CD}=\widehat{BCD}\)

a: ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương

=>AA'//BB'//CC'//DD' và AA'=BB'=CC'=DD'

Xét tứ giác AA'C'C có 

AA'//CC'

AA'=CC'

Do đó: AA'C'C là hình bình hành

=>AC//A'C'

ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương

=>ABCD và A'B'C'D' là hình vuông

ABCD là hình vuông

=>AC là phân giác của góc BAD và CA là phân giác của góc BCD

=>\(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}=45^0\) và \(\widehat{BCA}=\widehat{DCA}=45^0\)

\(\widehat{A'C';BC}=\widehat{AC;BC}=\widehat{ACB}=45^0\)

b: Xét ΔBAC có M,N lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>MN là đường trung bình của ΔBAC

=>MN//AC

Xét ΔA'AD' có

E,F lần lượt là trung điểm của AA',A'D'

=>EF là đường trung bình của ΔA'AD'

=>EF//AD'

ABCD.A'B'C'D là hình vuông

=>ADD'A' là hình vuông; DCC'D' là hình vuông
ABCD là hình vuông

=>\(AC=AB\cdot\sqrt{2}\)(1)

ADD'A' là hình vuông

=>\(AD'=AD\cdot\sqrt{2}=AB\cdot\sqrt{2}\)(2)

DCC'D' là hình vuông

=>\(CD'=CD\cdot\sqrt{2}=AB\cdot\sqrt{2}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra AC=AD'=D'C

=>ΔAD'C đều

=>\(\widehat{D'AC}=60^0\)

\(\widehat{MN;EF}=\widehat{AC;AD'}=\widehat{CAD'}=60^0\)

c: \(\widehat{MN;BC}=\widehat{AC;CB}=\widehat{ACB}=45^0\)

d: \(\widehat{EF;CC'}=\widehat{AD';DD'}=\widehat{AD'D}=45^0\)

a) (AC ⊥ SH & AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ (SBD) ⇒ AC ⊥ SD.

b) (MN//AC & AC ⊥ (SBD) ⇒ MN ⊥ (SBD).

c) + Xác định góc α giữa (SBC) và (ABCD)

Gọi I là trung điểm của BC, ta có:

(BC ⊥ IH & BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ (SIH)

⇒ BC ⊥ SI.

⇒ [((SBC),(ABCD)) ] = ∠(SIH) = α.

+ Tính α:

Trong tam giác SIH, ta có: cosα = IH/IS = √3/3 ⇒ α = arccos√3/3.

a: Xét ΔSAC có M,N lần lượt là trung điểm của SA,SC

=>MN là đường trung bình của ΔSAC

=>MN//AC

mà MN không thuộc mp(ABCD) và \(AC\subset\left(ABCD\right)\)

nên MN//(ABCD)

b: \(A\in AN;A\in\left(ABD\right)\)

=>\(A\in AN\cap\left(ABD\right)\)

mà \(N\in SC\) không thuộc mp(ABD)

nên \(A=AN\cap\left(ABD\right)\)

c: \(S\in\left(SAC\right);E\in AC\subset\left(SAC\right)\)

Do đó: \(SE\subset\left(SAC\right)\)

Chọn C

Ta gọi E, F lần lượt là trung điểm của SC, AB

Ta có ME//NF(do cùng song song với BC. Nên tứ giác MENF là hình thang, và 

hay tứ giác MENF là hình thang vuông tại M, F

Ta có:  hay E là hình chiếu vuông góc của N lên (SAC)

Từ đó ta có được, góc giữa MN và (SAC) là góc giữa MN và CI

Suy ra, gọi  α là góc giữa MN và (SAC) thì