\(A=x^2+y^2\) hả bạn?

Bài làm:

Ta có: \(A=x^3+y^3+xy+1=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy+1\)

\(=x^2-xy+y^2+xy+1=x^2+y^2+1\)

\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+1=\frac{1^2}{2}+1=\frac{3}{2}\)(BĐT Cauchy)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

Bạn xem lại đề bài, theo mình đề là: Tìm GTNN của A=x³+y³+xy

Từ dòng 2 xuống dòng 3 của Bạn Đăng không phải là bất đẳng thức Cauchy đâu nhé em!

\(\left(x-y\right)^2\ge0,\forall x;y\)

<=> \(x^2+y^2-2xy\ge0;\forall xy\)

<=> \(2x^2+2y^2\ge x^2+y^2+2xy;\forall xy\)

<=> \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2;\forall x,y\)

<=> \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\forall x;y\)

Chắc dùng Mincowski

\(x+y=1\Rightarrow y=1-x\)

\(P=x^3+\left(1-x\right)^3+x\left(1-x\right)\)

\(P=2x^2-2x+1=\dfrac{1}{2}\left(2x-1\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}\)

\(P_{min}=\dfrac{1}{2}\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Theo giả thiết \(x+y\le3\to xy+\left(y+4\right)\le y\left(3-y\right)+y+4=-\left(y-2\right)^2+8\le8.\)

Do đó theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz \(\frac{1}{xy}+\frac{9}{y+4}\ge\frac{\left(1+3\right)^2}{xy+y+4}\ge\frac{16}{8}=2.\)

Nhân cả hai vế với \(\frac{2}{3}\)  ta suy ra \(\frac{2}{3xy}+\frac{6}{y+4}\ge\frac{4}{3}.\)  Dấu bằng xảy ra khi \(y=2,x=1.\) Vậy giá trị bé nhất của \(P\)  là \(\frac{4}{3}\).