Cho tam giác ABC có trọng tâm G, E đối xứng với A qua C . D,E,F là trung điểm của AB,BC,DE
chứng minh vecto GF = 2/3 vecto AC trừ 1/12 vecto AB
1, Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua . B.
a, Chứng minh: vecto AD = 5/3 vecto AB - 1/3 vecto AC
b, AD cắt BC tại E. Tính BE/BC
2 Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D là điểm đối xứng với B qua G.
a, Chứng minh vecto AD = -(1/3) vecto AB + 2/3 vecto AC.
b, AD cắt BC tại E. Tính BE/BC.
GIÚP VỚI Ạ ! MÌNH CẦN GẤP Ạ!
Cho tam giác ABC có trọng tâm G, điểm I đối xứng A qua B, J thuộc AC sao cho AJ = 2/3 JC. Chứng minh:
a) Vecto GI = 5/3 vecto AB - 1/3 vecto AC
b) G, I, J thẳng hàng
Khai thác giả thiết:
+ IA =2IB <=> IA = 2( AB -AI) <=> IA = -2AB <=> AI = 2AB
+ 3JA + 2JC =0 <=> 3JA + 2(JA+ AC) =0 <=> JA = ( -2/5)AC <=> AJ = (2/5) AC
Chỉ ra được vị trí các điểm I, J:
+ I đối xứng với A qua B ( tức B là trung điểm AI)
+ J nằm trên đoạn AC sao cho AJ = 2/5 AC
* Ta có:
+ GI = GA + AI = GA + 2AB
+ GJ = GA + AJ = GA + (2/5) AC
Suy ra:
GI - 5 GJ = -4 GA + 2(AB - AC) = -4GA + 2CB = -4GA + 2(GB -GC)
= -2GA +4GB ( chỗ này có áp dụng tính chất trọng tâm: GA +GB + GC =0)
Do B là trung điểm của AI => 2GB = GA +GI
Suy ra:
GI - 5 GJ = -2GA + 2GA + 2 GI
=> GI = - 5 GJ
Đẳng thức này suy ra I, J, G thẳng hàng => IJ đi qua G (đpcm)
I, J, G thẳng hàng
Do I đối xứng A qua B \(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}\)
Do G là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{GA}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
a.
\(\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AI}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
b.
\(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{JC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{JA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\Rightarrow\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GJ}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\Rightarrow\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{GJ}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{GJ}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{15}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac{1}{5}\overrightarrow{GI}\)
\(\Rightarrow\) G,I,J thẳng hàng
1.cho tam giác ABC gọi K là điểm đối xứng của trọng tâm G qua B.
a. Chứng minh KA-5KB +KC=0 ( đều là vecto hết )
b. Tính vecto AB và AC theo hai vecto AG và AK
1. Cho tam giác ABC có trọng tâm G M là trung điểm BC I là điểm đối xứng với B qua G . Phân tích vectơ MI theo vectơ AB và vectơ AC
2. Cho▲ABC M là trung điểm của BC sao cho MB=2MC . CMR: vecto AM=1/3 vecto AB +2/3 vecto AC
Bài 2:
vecto AM=vecto AB+vecto BM
=vecto AB+2/3vecto BC
=vecto AB+2/3*(vecto BA+vecto AC)
=1/3*vecto AB+2/3*vecto AC
Cho tam giác ABC có trung tuyến AD, trọng tâm G, I là trung điểm AG, K thuộc đoạn AB. AK=1/5 AB, phân tích các vecto sau qua vecto CA, vecto CB a. Vecto AI b. Vecto AK c. Vecto CI d. Vecto CK
Do G là trọng tâm tam giác
\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}\)
Do I là trung điểm AG
\(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}\right)=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{CB}\)
\(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{5}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)=-\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CB}\)
\(\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{CA}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{CB}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{CB}\)
\(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{CA}-\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CB}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CB}\)
Bài 1. Cho tam giác ABC , gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MC = 2MB
1) Phân tích vecto AM theo vecto AB, vecto AC
2) Gọi D là trung điểm của AC, phân tích vecto MD theo vecto BA, vecto BC
3) Gọi E là trung điểm của BD . Chứng minh A, E, M thẳng hàng
4) Phân tích vecto BC theo vecto BD, vecto AM
1. Cho hbh ABCD. Đặt vecto AB=a, AD=b. Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vecto BI, CG theo vecto a,b
2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D là điểm đối xứng của A qua B và E là điểm trên đoạn AC sao cho AE =2/5 AC
a) phân tích vecto DE, DG theo vecto AB và AC
b) cmr D,G,E thẳng hàng
c) xét K là điểm thỏa vecto KA + KB + 3KC = 2KD. CMR KG//CD
Câu 1:
\(\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\\ =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\\ =\frac{1}{2}\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\\ =-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\\ =-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}\\ =-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}\)
\(a\text{) }\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=-2\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AG}\\ =-2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\\ =-2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\\ =-\frac{5}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
\(\text{b) }\overrightarrow{DG}=-\frac{5}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{5}{6}\left(-2\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{5}{6}\overrightarrow{DE}\)
=> D;G;E thẳng hàng
c) \(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=2\overrightarrow{KD}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=2\overrightarrow{KD}-2\overrightarrow{KC}\\ \Rightarrow3\overrightarrow{KG}=2\left(\overrightarrow{KD}-\overrightarrow{KC}\right)\\ \Rightarrow3\overrightarrow{KG}=2\overrightarrow{CD}\\ \Rightarrow\overrightarrow{KG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}\\ \Rightarrow\overrightarrow{KG}\text{ cùng phương }\overrightarrow{CD}\\ \Rightarrow KG//CD\)
1. Cho tam giác ABC ,H là trực tâm. M,N,E,F là trung điểm của AB,AC,HB,HC. Chứng minh vecto MN =vecto EF
2. Cho 2 hình bình hành ABCD,ABEF (B,C,E không thẳng hàng) . Chứng tỏ vecto CD=vecto EF, vecto CE=vecto DF.
3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD, H là trực tâm.K là đối xứng của O qua BC. Chứng minh vecto BH=vecto DC, vecto AH=vecto OK
Câu 1:
Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB
N là trung điểm của AC
Do đó MN là đường trung bình
=>MN//BC và MN=BC/2(1)
Xét ΔHBC có
E là trung điểm của HB
F là trung điểm của HC
Do đó: EF là đường trung bình
=>EF//BC và EF=BC/2(2)
Từ (1) và (2) suy ra MN//EF và MN=EF
=>MNFE là hình bình hành
SUy ra: VECTO MN=VECTO EF
Cho tam giác ABC trọng tâm G . Gọi I là trung điểm của AG Chứng minh : vecto AB + vecto AC + 6vecto GI = vecto 0
Gọi M là trung điểm BC, theo tính chất trọng tâm:
\(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)
Mà I là trung điểm AG \(\Rightarrow\overrightarrow{IG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AM}\Rightarrow\overrightarrow{GI}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AM}\)
Lại có: M là trung điểm BC \(\Rightarrow\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
Nên ta có:
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+6\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}+6.\left(-\dfrac{1}{3}\right)\overrightarrow{AM}\)
\(=2\overrightarrow{AM}-2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{0}\) (đpcm)