Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)  được

\(VT\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1/2

Vậy ...........

Cũng ko hẳn là cách khác nhưng xem cho vui v :) 

\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}=\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\ge4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{2}\)

Bài 1:

Theo BĐT AM-GM có :$(x+y+1)(x^2+y^2)+\dfrac{4}{x+y}\geq (x+y+1).2xy+\dfrac{4}{x+y}=2(x+y+1)+\dfrac{4}{x+y}=(x+y)+(x+y)+\dfrac{4}{x+y}+2\geq 2\sqrt{xy}+2\sqrt{(x+y).\dfrac{4}{x+y}}+2=2+4+2=8$(đpcm)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(x=y, xy=1\) và \(x+y=2\) hay \(x=y=1\)

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

\(x^2+y^2\geq 2xy=2\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}(1)\)

Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:

\(2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}=(x+y+2)+[(x+y)+\frac{4}{x+y}]\)

\(\geq (2\sqrt{xy}+2)+2\sqrt{(x+y).\frac{4}{x+y}}=(2+2)+4=8(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 8\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$

Bài 2:

Vì $xyz=1$ nên:

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{3}{x+y+z}=\frac{z+x+y}{xyz}+\frac{3}{x+y+z}=x+y+z+\frac{3}{x+y+z}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(\frac{x+y+z}{3}+\frac{3}{x+y+z}\geq 2(1)\)

\(\frac{2}{3}(x+y+z)\geq \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{xyz}=\frac{2}{3}.3=2(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{3}{x+y+z}\geq 2+2=4\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

P=1/(x+y)(x^2-xy+y^2)+1/xy

P=1/(x^2-xy+y^2)+1/xy ( vĩ+y=1)

P=1/(x^2-xy+y^2)+3/xy

Đến đây áp dụng bất đẳng thức Svac có

P>=(√3+1)^2/(x+y)^2

P>=(√3+1)^2 (vì x+y=1)

hay P>=4+2√3(đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)

Cần chỉ ra \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)

Ta có : \(x+y\le1\)

=> \(\left(x+y\right)^2\le1\)

=> \(\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\ge1\)( nghịch đảo )

=> \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)( nhân 4 vào cả hai vế )

=> đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2

1.

Đầu tiên ta cm: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\forall a,b>0\)

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\) (cô si)

Dấu "=" khi a = b.

Áp dụng:

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\) \(=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)+\frac{5}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}\cdot4xy}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)

\(=4+2+5=11\)

Vậy Min_A = 11 khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

\(P=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\Leftrightarrow x^2+1=P\left(x^2-x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+1-Px^2+Px-P=0\)(*)

\(\Leftrightarrow\left(1-P\right)x^2+Px+\left(1-P\right)=0\)

\(\Delta=P^2-4\left(1-P\right)^2\)

\(=P^2-4\left(1-2P+P^2\right)=-3P^2+8P-4\)

Để P có GTNN và GTLN thì phương trình (*) có nghiệm

\(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow-3P^2+8P-4\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3P^2+2P+6P-4\ge0\)

\(\Leftrightarrow-P\left(3P-2\right)+2\left(3P-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(3P-2\right)\left(2-P\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\le P\le2\)

Vậy \(min_P=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=-1\); \(max_P=2\Leftrightarrow x=1\)

\(\left(x+y\right)^2+7\left(x+y\right)+y^2+10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+2\cdot\left(x+y\right)\cdot\frac{7}{2}+\frac{49}{4}-\frac{9}{4}=-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{9}{4}=-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(x+y+5\right)=-y^2\le0\)

Vì \(x+y+2< x+y+5\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+2\le0\\x+y+5\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-5\le x+y\le-2\)

\(\Leftrightarrow-4\le x+y+1\le-1\)

Vậy: \(Min=-4\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=0\end{matrix}\right.;Max=-1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\y=0\end{matrix}\right.\)

Đặt : A = 1/x^2+xy + 1/y^2+xy

Có : A = 1/x.(x+y) + 1/y.(x+y) = 1/x + 1/y ( vì x+y = 1 )

Áp dụng bđt 1/a + 1/b >= 4/a+b với mọi a,b > 0 cho x,y > 0 thì :

A >= 4/x+y = 4/1 = 4

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2

=> ĐPCM

Tk mk nha

Áp dụng bđt : Với a>0 ; b>0 thì 1/b + 1/b >=4/(a+b) ta có :

\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)( vì 0 = < x + y <=1)

\(P=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(\left(x+y\right)^2-3xy\right)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}\ge\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{1-3xy+3xy}=4+2\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{3+\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6}\\y=\frac{3-\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6}\end{matrix}\right.\) và hoán vị