Áp dụng BĐT Schwarz:
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+2xy+y^2}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)
Dấu = xaỷ ra khi x=y=1/2
BĐT schwarz mk chưa học đến bn có thể giúp mình cách khác đc ko
Cái này học lớp 7 rồi mà bnVõ Trà Giang
Học Cauchy r thỳ dễ thôi:
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}=\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{xy}\)
Theo bđt Cauchy\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{\frac{1}{4}}=4\)
Ta có:
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}=\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{xy}\)
Á dụng bđt Cô si cho 2 số dương:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}=2\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\)
Đặt
\(a=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\).Ta có:
\(a\ge2\sqrt{a}\Leftrightarrow a-2\sqrt{a}\ge0\Leftrightarrow\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-2\right)\ge0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\ge0\\a\ge4\end{cases}\Leftrightarrow a\ge4}\)
Vậy \(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge4\)
