a:

ta có: ABCD là hình bình hành

=>AB//CD

Ta có: AB//CD

K\(\in\)CD

Do đó: CK//AB

Xét ΔGAB có CK//AB

nên \(\dfrac{GC}{GB}=\dfrac{GK}{GA}\)

b:

ta có: ABCD là hình bình hành

=>BC//AD

Ta có: BC//AD

C\(\in\)BG

Do đó: BG//AD

=>\(\widehat{BGA}=\widehat{DAG}\)(hai góc so le trong)

Xét ΔBGA và ΔDAK có

\(\widehat{BGA}=\widehat{DAK}\)

\(\widehat{GBA}=\widehat{ADK}\)(ABCD là hình bình hành)

Do đó: ΔBGA đồng dạng với ΔDAK

=>\(\dfrac{BG}{DA}=\dfrac{GA}{AK}\)

=>\(\dfrac{AD}{AK}=\dfrac{BG}{GA}\)

a: Xét ΔGAB có KC//AB

nên \(\dfrac{GC}{GB}=\dfrac{GK}{GA}\)

b: Xét ΔKAD và ΔAGB có

\(\widehat{KAD}=\widehat{AGB}\)(hai góc so le trong, DA//BC)

\(\widehat{AKD}=\widehat{GAB}\)(hai góc so le trong, DK//AB)

Do đó: ΔKAD đồng dạng với ΔAGB

=>\(\dfrac{AK}{AG}=\dfrac{AD}{GB}\)

=>\(\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{AG}{GB}\)

=>\(\dfrac{AD}{AK}=\dfrac{BG}{GA}\)

bạn ghi lại đề đi bạn

+) Gọi AP là đường trung tuyến của \(\Delta\)ABC, giao điểm của tia AM và BC là D. Qua M kẻ đường thẳng song song với AP, nó cắt BC tại N.

Xét \(\Delta\)PDA có: M thuộc AD; N thuộc PD; MN // AP => \(\frac{MN}{AP}=\frac{DM}{DA}\Rightarrow\frac{DM}{DA}=\frac{MN}{3.GP}\) (ĐL Thales) (*)

Xét \(\Delta\)GA'P có: M thuộc GA'; N thuộc PA'; MN // GP => \(\frac{MN}{GP}=\frac{MA'}{GA'}\), thế vào (*) được

\(\frac{DM}{DA}=\frac{1}{3}.\frac{MA'}{GA'}\). Chứng minh tương tự: \(\frac{EM}{EB}=\frac{1}{3}.\frac{MB'}{GB'};\frac{FM}{FC}=\frac{1}{3}.\frac{MC'}{GC'}\)

Suy ra \(\frac{1}{3}\left(\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}\right)=\frac{DM}{DA}+\frac{EM}{EB}+\frac{FM}{FC}\)

\(\Rightarrow\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}=3\left(\frac{DM}{DA}+\frac{EM}{EB}+\frac{FM}{FC}\right)\)(1)

+) Gọi giao điểm của BM và AC là E; CM với AB là F. Qua M kẻ 2 đường thẳng song song với AB và BC, chúng cắt AC lần lượt tại H và K.

Áp dụng ĐL Thales, ta có các tỉ số: 

\(\frac{DM}{DA}=\frac{CK}{AC};\frac{FM}{FC}=\frac{AH}{AC};\frac{EM}{EB}=\frac{EH}{EA}=\frac{EK}{EC}=\frac{EH+EK}{EA+EC}=\frac{HK}{AC}\)

Cộng các tỉ số trên, ta được: \(\frac{DM}{DA}+\frac{EM}{EB}+\frac{FM}{FC}=\frac{CK+HK+AH}{AC}=\frac{AC}{AC}=1\)(2)

+) Từ (1) và (2) => \(\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}=3\) (đpcm).

TA CÓ

\(\frac{MC,}{GC,}=\frac{S\Delta AMB}{S\Delta AGB}\left(1\right)\)

\(\frac{MB,}{GB,}=\frac{S\Delta AMC}{S\Delta AGC}\left(2\right)\)

DỰNG GH VÀ MD VUÔNG GÓC VỚI BC

AD ĐỊNH LÍ TA LÉT

=>\(\frac{MD}{GH}=\frac{MA,}{GA,}\)

MẶT KHÁC \(\frac{MD}{GH}=\frac{S\Delta BMC}{S\Delta BGC}\)

=> \(\frac{MA,}{GA,}=\frac{S\Delta BMC}{S\Delta BGC}\left(3\right)\)

TỪ 1 ,2,3 

=> \(\frac{MA,}{GA,}+\frac{MB,}{GB,}+\frac{MC,}{GC,}=\frac{S\Delta AMB+S\Delta BMC+S\Delta AMC}{\frac{1}{3}S\Delta ABC}=\frac{3SABC}{SABC}=3\)

Bài 2: