a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

Câu b : Tứ giác ABCD phải là hình thang thì \(EF=\dfrac{AB+CD}{2}\) ( Theo định lý đường trung bình hình thang )

Sửa đề: F là trung điểm của BC

a: Gọi O là trug điểm của AC

Xét ΔACD có 

E là trung điểm của AD

O là trug điểm của AC

Do đó: EO là đường trung bình

=>EO//DC và EO=DC/2

Xét ΔABC có

F là trung điểm của BC

O là trung điểm của AC

Do đó: FO là đường trung bình

=>FO//AB và FO=AB/2

\(EO+FO=\dfrac{AB+CD}{2}\ge EF\)

b: Để \(EF=\dfrac{AB+CD}{2}\) thì EO+FO=EF

=>E,O,F thẳng hàng

=>AB//CD

Bài 1:

a: Xét tứ giác ABEF có

BE//AF

BE=AF

BE=BA

Do đó: ABEF là hình thoi

b: Xét ΔBIE có BI=BE

nên ΔBIE cân tại B

mà góc IBE=60 độ

nên ΔBIE đều

=>góc I=60 độ

Xét tứ giác AFEI có

EF//AI

góc I=góc A

Do đó AFEI là hình thang cân

c: Xét ΔBAD có

BF là đường trung tuyến

BF=AD/2

Do đó: ΔBAD vuông tại B

=>DB vuông góc với BI

Xét tứ giác BICD có

BI//CD

BI=CD

Do đó: BICD là hình bình hành

mà DB vuông góc với BI

nên BICD là hình chữ nhật

d: Xét ΔAED có

EF la trung tuyến

FE=DA/2

Do đó: ΔAED vuông tại E

=>góc AED=90 độ

Gọi K là trung điểm của AC .

Xét tam giác ADC ta có :

\(AE=DE\)(GT)

\(AK=CK\)(GT)

=> EK là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow EK=\frac{1}{2}CD\)

Xét tam giác ABC ta có :

\(BF=CF\)(GT)

\(KA=KC\)(GT)

=> KF là đường trung bình của tam giác ABC

+) Xét tam giác EFK ta có :

\(EF\le EK+KF\)

Mà \(EK=\frac{1}{2}CD\)( chứng minh trên )

\(KF=\frac{1}{2}AB\)( chứng minh trên )

\(\Rightarrow EK+KF=\frac{CD}{2}+\frac{AB}{2}\)

\(=\frac{AB+CD}{2}\)

Vậy \(EF\le\frac{AB+CD}{2}\) ( đpcm)

Câu a) làm ý như câu b) bài 2) 
bâu b) chứng minh giống ý a bài 2 ta được AECF là hình bình hành 
nên AF//CE => FM//EN (5) 
Tam giác ABM=tam giác CDN (cgc) suy ra AM=CN 
mà EN=1/2AM (t/c đường trung bình của tam giác) 
FM=1/2 NC (t/c đường trung bình của tam giác) 
do đó EN=MF (6) 
từ (5) và (6) suy ra EMFN là hình bình hành. 
câuc) I và J lần lượt là trung điểm của BC và AD 
nên IJ đi qua trung điểm của EF (7) 
MN và EF là hai đường chéo của hình bình hành ENFM nên MN đi qua trung điểm của EF (8) 
Từ (7) và (8) suy ra 3 đường thẳng IJ, MN, EF đồng quy tại 1 điểm