a: Ta có: \(\widehat{OHM}=\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^0\)

=>O,H,M,A,B cùng thuộc đường tròn đường kính OM

b: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB

=>OM\(\perp\)AB tại I

Xét ΔOIK vuông tại I và ΔOHM vuông tại H có

\(\widehat{IOK}\) chung

Do đó; ΔOIK~ΔOHM

=>\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OK}{OM}\)

=>\(OI\cdot OM=OK\cdot OH\)

a: Xét (O) có

CM là tiếp tuyến

CA là tiếp tuyến

Do đó: OC là tia phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM là tiếp tuyến

DB là tiếp tuyến

Do đó: OD là tia phân giác của góc MOB(2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔCOD cân tại O

a: góc MHO=góc MBO=góc MAO=90 độ

=>M,A,O,B,H nội tiếp

b: Xét (O) có

MA,MB là tiếp tuyến

=>MA=MB

mà OA=OB

nên OM là trung trực của AB

=>OM vuông góc AB tại I

Xét ΔOIK vuông tại I và ΔOHM vuông tại H có

góc IOK chung

=>ΔOIK đồng dạng với ΔOHM

=>OI/OH=OK/OM

=>OI*OM=OH*OK

\(\text{a) Xét tứ giác ADMO có:}\)

∠DMO =90o (do M là tiếp tuyến của (O))

∠DAO =90o (do AD là tiếp tuyến của (O))

=> ∠DMO + ∠DAO = 180o

=> Tứ giác ADMO là tứ giác nội tiếp.

\(\text{b) Do D là giao điểm của 2 tiếp tuyến DM và DA nên OD là tia phân giác của ∠AOM}\)

=>(AOD = \(\frac{1}{2}\)∠AOM

Mặt khác ta có (ABM là góc nội tiếp chắn cung AM

=> ∠ABM = \(\frac{1}{2}\)∠AOM

=> ∠AOD = ∠ABM

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> OD // BM

Xét tam giác ABN có:

OM// BM; O là trung điểm của AB

=> D là trung điểm của AN

c) Ta có: ΔOBM cân tại O ;OE ⊥MB =>OE là đường trung trực của MB

=>EM = EB => ΔMEB cân tại E => ∠EMB = ∠MEB (1)

ΔOBM cân tại O => ∠OMB = ∠OBM (2)

Cộng (1) và (2) vế với vế, ta được:

∠EMB + ∠OMB = ∠MEB + ∠OBM ⇔ ∠EMO =∠EOB ⇔ ∠EOB =90o

=>OB ⊥ BE

Vậy BE là tiếp tuyến của (O).

d) Lấy điểm E trên tia OA sao cho OE = \(\frac{OA}{3}\)

Xét tam giác OAI có OI vừa là đường cao vừa là trung tuyến

=> Tam giác OAI cân tại I => IA = IB; ∠IBA = ∠IAB

Ta có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{IBA}=\widehat{IAB}\\\widehat{IBA}+\widehat{INA}=90^0\\\widehat{NAI}+\widehat{IAB}=\widehat{NAB}=90^0\end{cases}}\)

=> ∠NAI = ∠INA => ΔINA cân tại I => IA = IN

Tam giác NAB vuông tại A có: IA = IN = IB

=> IA là trung tuyến của tam giác NAB

Xét ΔBNA có:

IA và BD là trung tuyến; IA ∩ BD = {J}

=> J là trọng tâm của tam giác BNA

Xét tam giác AIO có:

\(\frac{\text{AJ}}{AI}=\frac{AE}{A0}=\frac{2}{3}\Rightarrow\text{JE}\text{//}OI\)

=> J nằm trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng bằng R/3.

Phần đảo: Lấy điểm J' bất kì thuộc đường thẳng d

Do d// OI (cùng vuông góc AB) nên ta có:

\(\frac{\text{AJ}}{AI}=\frac{AE}{A0}\)

\(\text{MÀ}\frac{AE}{AO}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{\text{AJ}}{AI}=\frac{2}{3}\)

AI là trung tuyến của tam giác NAB

=> J' là trọng tâm tam giác NAB

Vậy khi M di chuyển trên (O) thì J di chuyển trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng là R/3.

HÌNH Ở TRONG THỐNG KÊ HỎI ĐÁP NHA

Hướng dẫn, ghét hình học phẳng:

Để ý rằng AB vuông góc (M) tại H nên AH, BH cũng là các tiếp tuyến của (M)

- Nối MA, MB

- \(\widehat{AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên suy ra...

- AH, AC là 2 tiếp tuyến \(\Rightarrow\widehat{AMC}=\widehat{AMH}\)

Tương tự: \(\widehat{BMD}=\widehat{BMH}\)

\(\Rightarrow\widehat{CMD}=2\left(\widehat{AMH}+\widehat{BMH}\right)\)

b. AC, AH, BD, BH là các tiếp tuyến nên \(\left\{{}\begin{matrix}AC=AH\\BD=BH\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AC+BD=...\)

c.

AC song song BD (cùng vuông CD), O và M lần lượt là trung điểm AB, CD 

\(\Rightarrow OM\) là đtb hình thang vuông ABDC \(\Rightarrow OM\) vuông CD

Hệ thức lượng tam giác vuông OMK: \(OM^2=OH.OK\)

Mà \(OM=\dfrac{AB}{2}\Rightarrow...\)