a: Xét (O) có

ΔBMC nội tiếp

BC là đường kính

Do đo: ΔBMC vuông tại M

=>góc BMC=90 độ

b: Xét (O) có

ΔBNC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBNC vuông tại N

Xét tứ giac AMHN có

góc AMH+góc ANH=180 độ

nên AMHN là tứ giác nội tiếp

=>I là trung điểm của AH

Xét (O) có

ΔBMC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBMC vuông tại M

Xét (O) có

ΔBNC nội tiếp

BC là đường kính

Do đo: ΔBNC vuông tại N

Xet ΔABC có

BN,CM là các đường cao

BN cắt CM tại H

Do đó; H là trực tâm

=>AH vuông góc với BC

xét ΔMDC và ΔMBD có

∠M chung

∠MBD=∠MDC=\(\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{DC}\)

⇒ΔΔMDC ∼ ΔMBD (g.g)

⇒\(\dfrac{MD}{MB}=\dfrac{MC}{MD}\)⇒MD²=MC.MB

a: Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>CD\(\perp\)AB tại D

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó;ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\perp\)AC tại E

Xét ΔABC có

BE,CD là các đường cao

BE cắt CD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại F

Xét tứ giác HECF có \(\widehat{HEC}+\widehat{HFC}=90^0+90^0=180^0\)

nên HECF là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{HEF}=\widehat{HCF}\)

xét tam giác MDC và tam giác MBA có 

góc M chung 

góc MCD = góc MAB (chắn BD) 

=> đồng dạng => MD.MA= MB.MC

xét tứ giác AEHF có 

góc E+F =180 mà 2 góc ở vị trí đối => nội tiếp 

=> góc FEA = góc HAF chắn HF 

mà AHF = BCF ( 2 góc phụ nhau ) 

=> góc BCF = góc AEF 

=> tứ giác BEFC nội tiếp 

=> ME.MF= MB.MC 

=> ME.MF = MD.MA 

=> tứ giác AEFD nội tiếp 

mà tứ giác AEHF nội tiếp

= > 5 điểm A,E,F,H,D cùng thuộc 1 đường tròn 

=> góc ADH = 90 

xét (o) có ADK = 90 

=> D,H,K thẳng hàng (đpcm )