Trong toán học, bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Tên gọi đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Bất đẳng thức AM-GM là một bất đẳng thức cơ bản kinh điển quan trọng nhất của toán học sơ cấp, vì nó đã có khá nhiều cách chứng minh được đưa ra, hàng chục mở rộng, hàng chục kết quả chặt hơn đăng trên các diễn đàn toán học. Phần này tôi xin giới thiệu một kết quả chặt hơn bất đẳng thức AM-GM khác được suy ra từ chính cách chứng minh mới bất đẳng thức AM-GM (Cauchy - Cô-si).

                                                                                                                                                          # Aeri # 

Thanks bạn

mình copy trên google nè:Bất đẳng thức này ở VN gọi là bđt Cô-si (Cauchy) còn ở Mỹ gọi như trong tựa bài, hay gọi tắt là AM-GM inequality (arithmetic mean - geometric mean)

C-S với Bunhia là 1 và là 1 trg hợp của Holder dạng 2 số \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

AM-GM ng` việt gọi là cô si dạng 2 số \(a^2+b^2\ge2ab\)

Mincopski dạng 2 số \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2}\)

* BĐT Cauchy - Schwars = BĐT Bunhiacopxki

- Thông thường :

( a² + b² )(c² + d² ) \(\ge\left(ac+bd\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra tại : \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)

- Tổng quát với các bộ số : a₁ , a₂ , a₃ , ... , a_n và : b₁ , b₂ , ... , b_n

(a₁² + a₂² + ... + a_n²)(b₁² + b₂² + ... + b_n² ) \(\ge\left(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\right)\)

Dấu "=" xảy ra tại : \(\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=...=\dfrac{a_n}{b_n}\)

* BĐT AM-GM

- trung bình nhân (2 số)

với a,b \(\ge0\) , ta luôn có : \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) . Dấu "=" xảy ra tại a=b

- Trung bình nhân ( n số )

Với x₁ , x₁ , x₃ ,..., x_n \(\ge0\)

Ta luôn có : \(\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1x_2.....x_n}\)

Dấu "=" xảy ra khi x₁ = x₂ =...=x_n

-Trung bình hệ số :

Với các bộ số : x₁ , x₁ , x₃ ,..., x_n \(\ge0\)và a₁, a₂ , a₃ ,... , a_n ( a₁ , a₂ ,..., a_n) là c₁ác hệ số

Ta có : \(\dfrac{a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n}{a}\ge\sqrt[a]{x_1^{a_1}.x_2^{a_2}.....x_n^{a_n}}\)

Dấu "=" xảy ra khi x₁ = x₂ = x_n

=================

Cái mincopxki t ko biết , ngoài ra còng có BĐT Cauchy - dạng engel => lên googl seach có

Bạn vào link sau tham khảo :

Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân – Wikipedia tiếng Việt

Hk tốt 

.

 AM-GM là viết tắt của từ arithme and geometric means, nghĩa là trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức AM-GM được phát biểu như sau: 
(a1 + a2 + a3 + ...... + an) / n = căn bậc n của (a1*a2*a3*….*an) 

Cách chứng minh hay nhất của nó là sử dụng phương pháp quy nạp Cô-si nên nhiều người lầm tưởng rằng Cô-si phát hiện ra bđt này. Tên gọi bđt Cô-si được sử dụng trong hầu hết các tài liệu của VN, sai nhiều quá, thâm niên nên không sửa được, vì vậy chúng ta vẫn quen gọi nó là bđt Cô-si theo như sgk. Tên gọi bđt AM-GM là tên gọi chuẩn được quốc tế sử dụng. 

Cũng giống như vậy, bđt ta hay gọi là Bunhiacovski là phát minh của 3 nhà toán học Schwart (Svác), Bunhiacovski và Cauchy (Cô-si), và tên gọi chuẩn quốc tế của nó là bđt Cauchy- Schwart. 

Tập số N₀ là kí hiệu thường để chỉ tập các số nguyên không âm, để phân biệt với tập số tự nhiên N. Theo quy ước của IMU, tập số tự nhiên N không chứa số 0, tức là tập số nguyên dương (bằng với tập N* của Việt Nam). Tuy nhiên, ở nước ta, tập số tự nhiên N vẫn bao gồm số 0, vì thế phải “mọc” thêm tập N* ý chỉ tập số nguyên dương. 

R+ là tập các số thực dương (quy ước IMU). Trong trường phái toán châu Âu (tiêu biểu là Pháp), nó có thể để chỉ tập các số thực không âm. 

C là tập các số phức. (cái này miễn bàn) 

Bất đẳng thức AM-GM hay bất đẳng thức Cô-si là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau :

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

nó dễ ợt mà -_- 

x²y²+4xy+4=(xy+2)² xong :)) 

1. Chứng minh tứ giác DECB nội tiếp

Theo giả thiết MN vuông góc với AB tại D => góc EDB = 90⁰; góc ACB nội tiếp chắn nửa đường tròn nên góc ACB = 90⁰ hay góc ECB = 90⁰

=> Góc EDB + Góc ECB = 180⁰ mà đây là hai góc đối của tứ giác DECB nên tứ giác DECB là tứ giác nội tiếp (đpcm)

2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc MCN

Ta có MN vuông góc với AB (gt) => A là trung điểm của cung MN => góc ACM = góc ACN (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => CA là tia phân giác của góc MCN (đpcm)

 3. Chứng minh AB² = AE.AC + BD.AB

Ta có A là trung điểm của cung MN (theo chứng minh trên) => góc AMN = ACM (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay góc AME = góc ACM.

Lại thấy góc CAM là góc chung của hai tam giác AME và AMC do đó tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.

=> \(\frac{AM}{AE}=\frac{AC}{AM}\) => AM² = AE.AC  

Xét tam giác AMB và tam giác MDB có:

MDB = BMB = 90^o

Góc B chung => tam giác AMB và tam giác MBD đồng dạng

=> \(\frac{BM}{BD}=\frac{AB}{BM}\)=> BM² = AB.BD

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ABM vuông tại M ta có AB² = AM² + BM² = AE.AC + AB.BD (đpcm)

4. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.

Theo chứng minh trên Góc AMN = Góc ACM => AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECM;

Nối MB ta có góc AMB = 90⁰, do đó tâm O₁ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECM phải nằm trên BM. Ta thấy NO₁ nhỏ nhất khi NO₁ là khoảng cách từ N đến BM => NO₁ vuông góc với BM.

Gọi O₁ là chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta được O₁ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ECM có bán kính là O₁M.

Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất thì C phải là giao điểm của đường tròn tâm O₁ bán kính O₁M với đường tròn (O) trong đó O₁ là hình chiếu vuông góc của N trên BM.

khó nhỉ

phải

Hỏi làm gì lớp 9 học