Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{1}{\sqrt{3a^2+4ab+b^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(3a+b\right)}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{\left(2a+2b\right)\left(3a+b\right)}}\)

\(\ge\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{2a+2b+3a+b}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{5a+3b}{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{5a+3b}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\dfrac{1}{\sqrt{3b^2+4bc+c^2}}\ge\dfrac{2\sqrt{2}}{5b+3c};\dfrac{1}{\sqrt{3c^2+4ca+a^2}}\ge\dfrac{2\sqrt{2}}{5c+3a}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(P\ge\dfrac{2\sqrt{2}}{5a+3b}+\dfrac{2\sqrt{2}}{5b+3c}+\dfrac{2\sqrt{2}}{5c+3a}\)

\(\ge\dfrac{18\sqrt{2}}{8\left(a+b+c\right)}=\dfrac{18\sqrt{2}}{8}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}\)

Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

mình đánh nhầm, đề là cho a,b,c là các số thực dương tổng bằng 1

\(P=\sum\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2-ab+b^2+b^2+1}}\le\sum\frac{1}{\sqrt{ab+b^2+2b}}=\sum\frac{2}{\sqrt{4b\left(a+b+2\right)}}\)

\(\Rightarrow P\le\sum\left(\frac{1}{4b}+\frac{1}{a+b+1+1}\right)\le\sum\left(\frac{1}{4b}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1+1\right)\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{3}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{3}{8}\le\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

2.

\(1\ge\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{9}{3+a+b+c}\)

\(\Rightarrow a+b+c+3\ge6\Rightarrow a+b+c\ge6\)

\(P=\sum\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum\left(a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\right)\ge\sum\left(a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3ab}\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\sum\left(\frac{2a}{3}-\frac{b}{3}\right)=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\frac{6}{3}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

Ta có : \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)

\(\Rightarrow a^2-ab+3b^2+1\ge\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\)

Lại có : \(\left(\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\right)\ge\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}b+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}\ge\frac{a}{4}+\frac{5b}{4}+\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{4}{a+b+b+b+b+b+1+1}\le\frac{4}{64}\left(\frac{1}{a}+\frac{5}{b}+2\right)\)

Khi đó :

\(P\le\frac{1}{16}\left(6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+6\right)\le\frac{3}{2}\)

Dấu " = " xay ra khi a=b=c=1

Vậy \(P_{Max}=\frac{3}{2}\) khi a=b=c=1

Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập  springtime ấy

Chào bác Thắng

Bạn tham khảo lời giải tại đây:

Câu hỏi của Hùng Nguyễn - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Bài 1: diendantoanhoc.net

Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) BĐT cần chứng minh trở thành

\(\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}\)

Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:

\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2\)\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}\)

\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}\)

Bổ sung bài 1:

BĐT được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c