Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) với B và C là hai tiếp điểm. Vẽ đường kính BD của (O); AD cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh AE.AD = AC² và AHE = ADO
c) Gọi K là trung điểm của ED. Đường thẳng OK cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh FD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
=>A,B,O,C cùng nằm trên 1 đường tròn
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét (O) có
ΔBED nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBED vuông tại E
=>BE\(\perp\)ED tại E
=>BE\(\perp\)AD tại E
Xét ΔABD vuông tại B có BE là đường cao
nên \(AE\cdot AD=AB^2\)(3)
=>\(AE\cdot AD=AC^2\)
Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)
=>\(\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}\)
Xét ΔAEH và ΔAOD có
\(\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}\)
góc EAH chung
Do đó: ΔAEH đồng dạng với ΔAOD
=>\(\widehat{AHE}=\widehat{ADO}\)
c: Ta có: ΔOED cân tại O
mà OK là đường trung tuyến
nên OK\(\perp\)ED tại K
Xét ΔBOA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)
Xét ΔOKA vuông tại K và ΔOHF vuông tại H có
\(\widehat{KOA}\) chung
Do đó: ΔOKA đồng dạng với ΔOHF
=>\(\dfrac{OK}{OH}=\dfrac{OA}{OF}\)
=>\(OK\cdot OF=OA\cdot OH\)
=>\(OK\cdot OF=R^2=OD^2\)
=>\(\dfrac{OK}{OD}=\dfrac{OD}{OF}\)
Xét ΔOKD và ΔODF có
\(\dfrac{OK}{OD}=\dfrac{OD}{OF}\)
góc KOD chung
Do đó: ΔOKD đồng dạng với ΔODF
=>\(\widehat{OKD}=\widehat{ODF}\)
=>\(\widehat{ODF}=90^0\)
=>FD là tiếp tuyến của (O)
Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) ( B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh: OA vuông góc với BC tại H.
b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt (O) tại E (khác D). Chứng minh: AE.AD = AH.AO.
c) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với AD tại I và cắt BC tại K. Chứng minh: KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
a: Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại trung điểm của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
b: Xét (O) có
ΔBED nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBED vuông tại E
=>BE\(\perp\)ED tại E
=>BE\(\perp\)AD tại E
Xét ΔDBA vuông tại B có BE là đường cao
nên \(AE\cdot AD=AB^2\left(3\right)\)
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\) và \(OH\cdot OA=OB^2\)
Từ (3) và (4) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)
c: Xét ΔOKH vuông tại K và ΔOIA vuông tại I có
\(\widehat{KOH}\) chung
Do đó: ΔOKH đồng dạng với ΔOAI
=>\(\dfrac{OK}{OA}=\dfrac{OH}{OI}\)
=>\(OK\cdot OI=OH\cdot OA\)
mà \(OH\cdot OA=OB^2\)
nên \(OK\cdot OI=OB^2=R^2=OD^2\)
=>\(\dfrac{OK}{OD}=\dfrac{OD}{OI}\)
Xét ΔOKD và ΔODI có
\(\dfrac{OK}{OD}=\dfrac{OD}{OI}\)
\(\widehat{KOD}\) chung
Do đó: ΔOKD đồng dạng với ΔODI
=>\(\widehat{ODK}=\widehat{OID}=90^0\)
=>KD là tiếp tuyến của (O)
Cho đường tròn (O ; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp tuyến). Gọi H là giao điểm của OA và BC. a) Chứng minh: OA vuông góc BC và OH.OA=R² b) Kẻ đường kính BD của (O), AD cắt (O) tại E. Chứng minh: AH.AO= AE.AD c) Chứng minh: HC là phân giác của góc DHE
a: Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại trung điểm của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(1\right)\)
b: Xét (O) có
ΔBED nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBED vuông tại E
=>BE\(\perp\)ED tại E
=>BE\(\perp\)AD tại E
Xét ΔDBA vuông tại B có BE làđường cao
nên \(AE\cdot AD=AB^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot AO=AE\cdot AD\)
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B; C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Kẻ đường kính BK của (O). AK cắt (O) tại ETừ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B;C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Kẻ đường kính BK của (O). AK cắt (O) tại E.a.Chứng minh : tứ giác OBAC nội tiếp và AB^2=AE.AKb.Chứng minh : tứ giác OHEK nội tiếp và CE vuông góc HEc.Tia BK và tia AC cắt nhau tại F.Kẻ CI vu
a) Xét tứ giác OBAC có
\(\widehat{OBA}\) và \(\widehat{OCA}\) là hai góc đối
\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: OBAC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Cho đường tròn (O) bản kính 6cm và điểm 4 nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 10cm. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (O). B; C là tiếp điểm và H là giao điểm của OA với BC.
a). Tính độ dài AB và BH.
a: \(AB=\sqrt{10^2-6^2}=8\left(cm\right)\)
Xét (O) có
AB là tiếp tuyến
AC là tiếp tuyến
Do đó:AB=AC
mà OB=OC
nên AO là đường trung trực của BC
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(BH\cdot AO=BO\cdot BA\)
hay BH=4,8(cm)
từ diểm a nằm ngoài đường tròn (o) vẽ tiếp tuyến ab,ac với đường tròn( b,c là tiếp điểm). kẻ đường kính bd của đường tròn(o), gọi h là giao điểm của oa và bc.a)chứng minh oa//cd.b)đường thẳng qua o vuông góc với ad tại e cắt đường thẳng bc tại i. Gọi k là gao điểm của ad và bc. Chứng minh hc^2=hk.hi và 2/bc=1/ck-1/ci
cậu làm được câu này chưa ạ giải cho tớ với:<
Bài 4: (2,5 điểm) Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) với B và C là hai tiếp điểm, Vẽ đường kính BD của (O); A cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Gọi H là giao điểm của OA và BC, K là trung điểm của ED.
a) Chứng minh năm điểm A, B, O, K, C cùng nằm trên một đường tròn và OA BC
b) Chứng minh AE.AD = AC2
Cho đường tròn tâm ( và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. a) Chứng minh: AO là đường trung trực của BC và BC= 4.OH. HA. b) AO cắt đường tròn (O) tại I và K ( 1 nằm giữa A và O). Chứng minh: tam giác KBI vuông và AI. KH=IH. KA.
a: Xét (O) có
AB là tiếp tuyến
AC là tiếp tuyến
Do đó AB=AC
hay A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
nên O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
Cho đường tròn tâm O và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm. Vẽ đường kính BD của đường tròn (O), AD cắt (O) tại E. Gọi H là giao điểm của OA và BC, K là trung điểm của ED. a) Chứng minh: A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và OA vuông góc với BC. b) Chứng minh: AE.AD = AC c) Vẽ OK và cắt BC tại F. Chứng minh: FD là tiếp tuyến của đường tròn
a: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
nên AB=AC
mà OB=OC
nên OA là trung trực của BC
Xét tứ giác OBAC có
góc OBA+góc OCA=180 độ
nên OBAC là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔAEC và ΔACD có
gó ACE=góc ADC
góc EAC chung
Do đo: ΔAEC đồng dạng với ΔACD
=>AE/AC=AC/AD
=>AC^2=AE*AD