Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) ( B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh: OA vuông góc với BC tại H.
b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt (O) tại E (khác D). Chứng minh: AE.AD = AH.AO.
c) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với AD tại I và cắt BC tại K. Chứng minh: KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
a: Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại trung điểm của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
b: Xét (O) có
ΔBED nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBED vuông tại E
=>BE\(\perp\)ED tại E
=>BE\(\perp\)AD tại E
Xét ΔDBA vuông tại B có BE là đường cao
nên \(AE\cdot AD=AB^2\left(3\right)\)
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\) và \(OH\cdot OA=OB^2\)
Từ (3) và (4) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)
c: Xét ΔOKH vuông tại K và ΔOIA vuông tại I có
\(\widehat{KOH}\) chung
Do đó: ΔOKH đồng dạng với ΔOAI
=>\(\dfrac{OK}{OA}=\dfrac{OH}{OI}\)
=>\(OK\cdot OI=OH\cdot OA\)
mà \(OH\cdot OA=OB^2\)
nên \(OK\cdot OI=OB^2=R^2=OD^2\)
=>\(\dfrac{OK}{OD}=\dfrac{OD}{OI}\)
Xét ΔOKD và ΔODI có
\(\dfrac{OK}{OD}=\dfrac{OD}{OI}\)
\(\widehat{KOD}\) chung
Do đó: ΔOKD đồng dạng với ΔODI
=>\(\widehat{ODK}=\widehat{OID}=90^0\)
=>KD là tiếp tuyến của (O)
