Do \(x,y\inℚ;x,y\ne0\)nên đặt \(x=\frac{a}{b},y=\frac{c}{d}\)trong đó \(a,b,c,d\inℤ;a,b\ne0;c,d>0\)và \(\left(a;b\right)=\left(c;d\right)=1\)

Ta có:\(x+y=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\inℤ\)

\(\Rightarrow ab+bc⋮bd\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ad+bc⋮b\\ad+bc⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}d⋮b\\b⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow b=d\left(1\right)\)vì \(\left(a;b\right)=\left(c;d\right)=1\)

Lại có:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{b}{a}+\frac{d}{c}=\frac{bc+ad}{ac}\inℤ\)

\(\Rightarrow bc+ad⋮ac\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}bc+ad⋮a\\bc+ad⋮c\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}c⋮a\\a⋮c\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a=c\left(2\right)\)vì \(\left(a;b\right)=\left(c;d\right)=1\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\frac{a}{b}\in\left\{\frac{c}{d},-\frac{c}{d}\right\}\Rightarrow x\in\left\{y,-y\right\}\)

Với \(x=y=\frac{a}{b}\)thì khi đó:

\(x+y=\frac{2a}{b}\inℤ\Rightarrow2⋮b\Rightarrow b\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2b}{a}\Rightarrow2⋮a\Rightarrow a\in\left\{1;-1;-2;2\right\}\)

\(\Rightarrow x=y=\frac{a}{b}=\pm1=\pm2=\pm\frac{1}{2}\)

Nếu x=-y thì:

\(x+y=0\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=0\left(L\right)\)

Vậy các cặp số \(\left(x;y\right)\)cần tìm là:\(\left(1;1\right);\left(2;2\right);\left(-1;-1\right);\left(-2;-2\right);\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right);\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

Dòng đầu tiên chưa chặt chẽ. Giải thích: c, d >0? 

Trường hợp 2 tại sao loại ? x=-y  thì x+y=0 là số nguyên và 1/x +1/y cũng là số nguyên.

Lần sau làm bài nhớ khảo lại bài nhé!:)

lần sau e sẽ chú ý hơn ah.

Ta có: \(\frac{x+1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}\)

Để x+1/x nguyên thì 1/x nguyên 

=>  x \(\in\){-1;1} 

ta có : \(\frac{x+1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}\)

để x + 1/x nguyên thì 1/x nguyên

=> x \(\in\){-1;1}

x={-1,1}

Để \(\frac{5}{2x^2+1}\) là số nguyên thì \(5⋮\left(2x^2+1\right)\) \(\Rightarrow\) \(\left(2x^2+1\right)\inƯ\left(5\right)\)

Mà \(Ư\left(5\right)\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

Suy ra : 

Vì \(x\inℚ\) ( x là số hữu tỉ ) nên \(x=0\)

Vậy \(x=0\)

\(A=\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{x-2+3}{x-2}=1+\dfrac{3}{x-2}\)

A là số nguyên khi: \(\dfrac{3}{x-2}\) nguyên 

3 ⋮ x - 2

\(\Rightarrow x-2\inƯ\left(3\right)=\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{3;1;5;-1\right\}\)

Xửa đề:

\(\frac{x-y\sqrt{2015}}{y-z\sqrt{2015}}=\frac{m}{n}\) (vơi m, n thuộc Z)

\(\Leftrightarrow xn-ym=\left(yn-zm\right)\sqrt{2015}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xn-ym=0\\yn-zm=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{m}{n}=\frac{y}{z}\)

\(\Rightarrow xz=y^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+2xz+z^2-y^2=\left(x+z+y\right)\left(x+z-y\right)\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=1\left(l\right)\\x+z-y=1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x+z=y+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xz+z^2=y^2+2y+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(y-1\right)^2+z^2=2\)

\(\Rightarrow x=y=z=1\)

Đề ghi nhầm rồi. Xao không co z vậy

Ta có: \(A=\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{x-2+3}{x-2}=\dfrac{x-2}{x-2}+\dfrac{3}{x-2}=1+\dfrac{3}{x-2}\)

Để A là số nguyên thì \(x-2\inƯ\left(3\right)=\left\{-1,-3,1,3\right\}\)

Ta có bảng giá trị:

Vậy ...

Ta có : \(A=\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{x-2+3}{x-2}\)

\(\Rightarrow A=1+\dfrac{3}{x-2}\)

Vì x là số nguyên nên để A cũng là số nguyên thì : \(\dfrac{3}{x-2}\in Z\)

\(\Rightarrow3⋮\left(x-2\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)\inƯ\left(3\right)\)

Do đó ta có bảng :

Vậy..........