có nghiệm nguyên 

x=3 ;  y =2 thay vào ra 10

Câu này trả lời được: ra 2

\(2x^2-4y^2=10\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2-2y^2\right)=10\)

\(\Leftrightarrow x^2-2y^2=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{2}y\right)\left(x+\sqrt{2}y\right)=5\)

Lập bảng :

.

\(2x^2-4y^2=10\Leftrightarrow x^2-2y^2=5\)

Dễ thấy \(x\) lẻ, đặt \(x=2k+1\)

pt \(\Leftrightarrow2k^2+2k-2=y^2\)

Do đó \(y\) chẵn, Đặt \(y=2q\)

\(pt\Leftrightarrow k^2+k-1=2q^2\)

\(\Leftrightarrow k\left(k+1\right)=2q^2+1\)

VT chẵn, VP lẻ nên pt vô nghiệm nguyên.

Lời giải:

$x(x^2+x+1)=4y(y+1)$
$\Leftrightarrow x(x^2+x+1)+1=4y(y+1)+1$
$\Leftrightarrow (x^2+1)(x+1)=(2y+1)^2$

Vì $(x^2+1)-(x+1)=x^2-x=x(x-1)\vdots 2$ nên $x^2+1, x+1$ cùng tính chẵn lẻ. Mà tích của chúng là $(2y+1)^2$ lẻ nên $x^2+1, x+1$ cùng lẻ.
Gọi $d=ƯCLN(x^2+1, x+1)$

$\Rightarrow x^2+1\vdots d; x+1\vdots d$

$\Rightarrow x(x+1)-(x^2+1)\vdots d$

$\Rightarrow x-1\vdots d$

$\Rightarrow (x+1)-(x-1)\vdots d\Rightarrow 2\vdots d$

$\Rightarrow d=1$ hoặc $d=2$

Nếu $d=2$ thì $x^2+1\vdots 2$ (loại do $x^2+1$ lẻ)

$\Rightarrow d=1$

Vậy $(x^2+1, x+1)=1$. Mà tích của chúng là scp nên bản thân mỗi số $x^2+1, x+1$ là scp.

Đặt $x^2+1=a^2, x+1=b^2$ với $a,b\in\mathbb{N}$

$\Rightarrow (b^2-1)^2+1=a^2$
$\Rightarrow 1=(a^2-b^2+1)(a^2+b^2-1)$

$\Rightarrow a^2-b^2+1=1=a^2+b^2-1=1$

$\Rightarrow a=b=1$

$\Rightarrow x=0\Rightarrow y=0$ hoặc $y=-1$

\(\Rightarrow x^2+2x+1-y^2-4y-4-7=0\\ \Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-\left(y+2\right)^2=7\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^2=16\\\left(y+2\right)^2=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+1=4\\y+2=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+1=-4\\y+2=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\)