Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2}=a\\\frac{1}{y^2}=b\\\frac{1}{z^2}=c\end{cases}}\Rightarrow abc=1\) và ta cần chứng minh 

\(\frac{1}{2a+b+3}+\frac{1}{2b+c+3}+\frac{1}{2c+a+3}\le\frac{1}{2}\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(2a+b+3=\left(a+b\right)+\left(a+1\right)+2\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{a}+2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2a+b+3}\le\frac{1}{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{a}+1\right)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{a}+1}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{1}{2b+c+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{b}+1};\frac{1}{2c+a+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{ac}+\sqrt{c}+1}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(VT_{\left(1\right)}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{a}+1}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{bc}+1}+\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{ac}+1}\right)\le\frac{1}{2}=VP_{\left(2\right)}\left(abc=1\right)\)

t nghĩ ôg có chút nhầm lẫn , phải là sigma (1/2b+a+3) </ 1/2 

bạn sẽ có: 2x^2/(1-x^2) - y = 0 => -2x^2/(x^2 -1) = y => 2x^2/(x^2 - 1) = - y. hay 2 + 2/(x^2 - 1) = -y(1). chứng minh tương tự bạn sẽ có 2y^2/(1-y^2)-z = 0 + => 2 + 2/(y^2-1) = -z(2) và 2z^2/(1-z^2) - x = 0 => 2 + 2/(z^2 -1) = - x(3).bạn đặt x^2 - 1 = a. y^2 - 1 = b. z^2 - 1 = c. => thế vào (1) (2) (3) bạn sẽ có:

2 + 2/b = -căn(c + 1)

2 + 2/a = - căn(b + 1)

2 + 2/c = - căn(a +1)

đặt căn (c+1) = m. căn (b +1) = n. căn (a + 1) = p thay vào hpt sẽ có:

2 + 2/b = -m

2 + 2/a = -n

2 +2/c = -p

giải hệ phương trình này ra bạn sẽ ra được a, b , c và từ đó bạn sẽ tìm ra được x ,y,z còn lại bạn tự làm nốt nhé. Tớ lười tính quá :|

chưa học nên ko biết

Ta thấy $x^2+y^2+z^2\geq 0$ với mọi $x,y,z$

Do đó $x^2+y^2+z^2=-14$ là vô lý

PT vô nghiệm.

     \(x^2+y^2+z^2=4x-2y+6=-14\)

⇔ \(x^2-4x+4+y^2+2y+1+z^2-6z+9=0\)

⇔ \(\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2=0\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2\\\left(y+1\right)^2\\\left(z-3\right)^2\end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-1\\z=3\end{matrix}\right.\)