a)ta có:

AB=DC mà AE=1/2 AB, KC= 1/2 DC

=>AE=KC

Xét tứ giác AECK, ta có: 

AE//KC(AB//KC và AE thuộc AB và KC thuộc DC)

=>tứ giác AECK là hình bình hành.

b) chỗ DE vuông góc CE có đúng không vậy để mai mình làm tiếp

DF VUÔNG GÓC CE, DF vuông góc AK

1: E là trung điểm của AB

=>\(EA=EB=\dfrac{AB}{2}\)(1)

K là trung điểm của CD

=>\(DK=KC=\dfrac{DC}{2}\)(2)

ABCD là hình vuông

=>AB=DC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra AE=EB=CK=KD

Xét tứ giác AECK có

AE//CK

AE=CK

Do đó: AECK là hình bình hành

2: Xét ΔFCD vuông tại C và ΔEBC vuông tại B có

FC=EB

CD=BC

Do đó: ΔFCD=ΔEBC

=>\(\widehat{FDC}=\widehat{ECB}\)

mà \(\widehat{FDC}+\widehat{DFC}=90^0\)(ΔDFC vuông tại C)

nên \(\widehat{ECB}+\widehat{DFC}=90^0\)

=>DF\(\perp\)CE tại M

3: AECK là hình bình hành

=>AK//CE

AK//CE

CE\(\perp\)DF

Do đó: AK\(\perp\)CE tại N

Xét ΔDMC có

K là trung điểm của DC

KN//MC

Do đó: N là trung điểm của DM

4: Xét ΔADM có

AN là đường cao

AN là đường trung tuyến

Do đó: ΔADM cân tại A

=>AD=AM

mà AD=AB

nên AM=AB

Lời giải:

a)

Theo bài ra ta có FC=BC2;EB=AB2FC=BC2;EB=AB2. Mà BC=ABBC=AB do ABCDABCD là hình vuông

⇒FC=EB⇒FC=EB

Xét tam giác vuông EBCEBC và FCDFCD có:

EB=FCEB=FC

BC=CDBC=CD (theo tính chất hình vuông)

⇒△EBC=△FCD⇒△EBC=△FCD (c.g.c)

⇒ECBˆ=FDCˆ⇒ECB^=FDC^ hay FCMˆ=MDCˆFCM^=MDC^

Do đó:

DMCˆ=1800−(MDCˆ+MCDˆ)=1800−(FCMˆ+MCDˆ)=1800−FCDˆ=1800−900=900DMC^=1800−(MDC^+MCD^)=1800−(FCM^+MCD^)=1800−FCD^=1800−900=900

⇒CE⊥DF⇒CE⊥DF

b) Gọi NN là trung điểm của DCDC. ANAN cắt DFDF tại KK
Ta thấy AE=AB2=AC2=NCAE=AB2=AC2=NC.

AB∥DCAB∥DC (tính chất hình vuông) nên AE∥NCAE∥NC

Tứ giác AECNAECN có 2 cạnh đối song song và bằng nhau nên AECNAECN là hình bình hành.

⇒AN∥EC⇒AN∥EC.

⇒KN∥MC⇒KN∥MC. Theo định lý Ta-let: DKKM=DNNC=1DKKM=DNNC=1

⇒DK=KM⇒DK=KM hay KK là trung điểm của DMDM

Mặt khác từ kết quả phần a ta cũng suy ra AK⊥DMAK⊥DM

Như vậy trong tam giác ADMADM thì AKAK vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên ADMADM là tam giác cân tại AA, hay AD=AMAD=AM

Ta có đpcm.

Bổ sung hình vẽ:

a: Xét tứ giác AECK có

AK//CE

AK=CE

=>AECK là hình bình hành

b: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

AKCE là hbh

=>AC cắt KE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm của KE

c: Xét ΔDMC có

E là trung điểm của DC

EN//MC

=>N là trung điểm của DM

=>DN=NM

Xét ΔABN có

K là trung điểm của BA

KM//AN

=>M là trung điểm của BN

=>DN=MN=MB