Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(\alpha \) là số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\). Chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác \(ABC\) và \(SBC\) bằng \(\cos \alpha \).
Cho hình chóp S.ABC có SA \( \bot \) (ABC), AB = AC = a, \(\widehat {BAC} = {120^0},SA = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}.\) Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng \(\widehat {SMA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(S, BC, A].
b) Tính số đo của góc nhị diện \(S, BC, A].
a) Xét tam giác ABC có AB = AC => tam giác ABC cân tại A mà M là trung điểm BC
=> \(AM \bot BC\) (1)
\(\begin{array}{l}SA \bot BC\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\ \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right);SM \subset \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1), (2) ta có \(\widehat {SMA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].
b) Xét tam giác ABC cân tại A có
\(\widehat {BAC} = {120^0} \Rightarrow \widehat {ACB} = {30^0}\)
\(\sin \widehat {ACB} = \frac{{AM}}{{AC}} \Leftrightarrow \tan {30^0} = \frac{{AM}}{a} \Leftrightarrow AM = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\)
\(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}:\frac{a}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SMA} = \arctan \frac{1}{2}\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(C\), mặt bên \(SAC\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\).
a) Chứng minh rằng \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(SC\). Chứng minh rằng \(\left( {ABI} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).
a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\)
\(SAC\) là tam giác đều \( \Rightarrow SH \bot AC\)
Mà \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\)
\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot BC\)
Lại có \(AC \bot BC\)
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\)
b) \(SAC\) là tam giác đều \( \Rightarrow AI \bot SC\)
\(BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AI\)
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow AI \bot \left( {SBC} \right)\\AI \subset \left( {ABI} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ABI} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),AI \bot BC\left( {I \in BC} \right)\), \(AH \bot SI\left( {H \in SI} \right)\). Chứng minh rằng khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(AH\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\\AI \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right)\\\left. \begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot AH\\AH \bot SI\end{array} \right\} \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\end{array}\)
Vậy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).
Câu 1. Cho hình chóp S ABC . có SA vuông góc với ABC và đáy ABC đều cạnh a. Biết SA=3a/2.Gọi H là trung điểm của BC.
a. Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC ?
b. Tính diện tích của tam giác ABC từ đó suy ra diện tích tam giác SBC ?
c. Chứng minh SBC vuông góc với SAH
Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S ABC . có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng cạnh đáy. Tính số đo góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),AC \bot BC,\)\(SA = BC = a\sqrt 3 ,AC = a\)(Hình 99).
a) Tính góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).
b) Tính góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
c) Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\).
d) Tính khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).
g) Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\).
a) \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC \Rightarrow \left( {SA,BC} \right) = {90^ \circ }\).
b) \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\)
\(\Delta SAC\) vuông tại \(A \Rightarrow \tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SCA} = {60^ \circ }\)
Vậy \(\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = {60^ \circ }\).
c) \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB,SA \bot AC\)
Vậy \(\widehat {BAC}\) là góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\).
\(\Delta ABC\) vuông tại \(C \Rightarrow \tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {BAC} = {60^ \circ }\).
d)
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\\AC \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = BC = a\sqrt 3 \end{array}\)
e) \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AC,AC \bot BC\)
\( \Rightarrow d\left( {SA,BC} \right) = AC = a\)
g) \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}a.a\sqrt 3 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)
\(\begin{array}{l}h = SA = a\sqrt 3 \\ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}}}{2}\end{array}\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A và SA \( \bot \) (ABC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
a) BC \( \bot \) (SAM);
b) Tam giác SBC cân tại S.
a) Xét tam giác ABC cân tại A có
AM là đường trung tuyến (M là trung điểm BC)
\( \Rightarrow \) AM là đường cao \( \Rightarrow \) \(AM \bot BC\)
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}AM \bot BC\\SA \bot BC\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\AM \cap SA = \left\{ A \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\)
b) \(\left. \begin{array}{l}BC \bot \left( {SAM} \right)\\SM \subset \left( {SAM} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot SM\)
Xét tam giác SBC có:
+) SM là đường cao \(\left( {BC \bot SM} \right)\)
+) SM là đường trung tuyến (M là trung điểm BC)
\( \Rightarrow \) Tam giác SBC cân tại S.
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,SA \bot \left( {ABC} \right)\). Tính \(d\left( {SA,BC} \right)\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).
Tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow AI \bot BC\)
\(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AI\)
\( \Rightarrow d\left( {SA,BC} \right) = AI = \frac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phửng (ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng :
a) AH, SK và BC đồng quy
b) SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và \(\left(SAC\right)\perp\left(BHK\right)\)
c) HK vuông góc với mặt phẳng (SBC) và \(\left(SBC\right)\perp\left(BHK\right)\)