Xét ΔOAD và ΔOCB có

\(\widehat{OAD}=\widehat{OCB}\)

OA=OC

\(\widehat{AOD}=\widehat{COB}\)

Do đó: ΔOAD=ΔOCB

=>AD=BC

\(\widehat{OAD}=\widehat{OCB}\)

mà hai góc này ở vị trí so le trong

nên AD//BC

Xét tứ giác ABCD có

AD//BC

AD=BC

Do đó: ABCD là hình bình hành

Xét ΔAED vuông tại E và ΔCFB vuông tại F có

AD=CB(Hai cạnh đối của hình bình hành ABCD)

\(\widehat{D}=\widehat{B}\)(Hai góc đối của hình bình hành ABCD)

Do đó: ΔAED=ΔCFB(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: AE=CF(Hai cạnh tương ứng) và ED=FB(hai cạnh tương ứng)

Ta có: ED+EC=DC(E nằm giữa D và C)

FB+FA=AB(F nằm giữa A và B)

mà AB=DC(Hai cạnh đối của hình bình hành ABCD)

và ED=FB(cmt)

nên EC=FA

Xét tứ giác ECFA có 

EC=FA(cmt)

EA=CF(cmt)

Do đó: ECFA là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Theo chứng minh ở câu a. △ AEB đồng dạng  △ ABC theo tỉ số k = 1/2 nên dễ thấy BE = 1/2 BC hay BE = BM

Suy ra: ΔBEM cân tại B.

Xét tam giác EBC có: 

Suy ra: OB là đường phân giác góc EBC

BO là đường phân giác góc ở đỉnh của tam giác cân BEM nên BO vuông góc với cạnh đáy EM (đpcm).

gọi góc DAH = góc HAO =góc OAB = x 
Xét tam giác OAD cân tại A(....) 
=> góc ADH = 90 độ - x (1) 
=> góc DOC = 180 độ - 2x (góc ngoài) 
_góc ACD=x ( soletrong ...) 
Xét tam giác ODC có 
góc ODC = 180 độ - góc ACD - góc DOC 
=180 độ - 180 độ + 2x -x 
= x 
=> góc ODC = x (2) 
từ (1) và (2) => góc ADC = 90 độ - x + x =90 độ 
=> H.B.Hành có 1 góc vg=> đó là Hình Chữ Nhật (dpcm) 

Lời giải:

Xét tam giác ADH và AOH có:

\(\widehat{DAH}=\widehat{OAH}\) (gt)

\(\widehat{AHD}=\widehat{AHO}=90^0\)

AH chung

\(\Rightarrow \triangle ADH=\triangle AOH(g.c.g)\) (1)

\(\Rightarrow AD=AO\Rightarrow \frac{AD}{AO}=1\)

Xét tam giác ADH và AOK có: 

\(\widehat{AHD}=\widehat{AKO}=90^0\)

\(\widehat{DAH}=\widehat{OAB}=\widehat{OAK}\) (gt)

\(\Rightarrow \triangle ADH\sim \triangle AOK(g.g)\Rightarrow \frac{AH}{AK}=\frac{DH}{OK}=\frac{AD}{AO}=1\Rightarrow AH=AK;DH=OK\) 

Vì AO là phân giác của \(\widehat{HAB}\) nên theo tính chất đường phân giác thì:

\(\frac{AH}{AB}=\frac{OH}{OB}\)

Trong đó \(OH=DH\) (do (1)) nên \(OH=\frac{1}{2}OD\). Mà \(OD=OB\) theo tính chất hình bình hành

\(\Rightarrow \frac{AH}{AB}=\frac{OH}{OB}=\frac{1}{2}\)

Mà \(AH=AK\Rightarrow AK=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AK=KB\) 

Tam giác AOB có OK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác AOB cân tại O. Do đó OA=OB hay AC=BD nên ABCD là hình chữ nhật (đpcm).

Hình vẽ:

a) \(BE;DF\perp AC\text{ nên }BE//DF\)

\(\Delta BEO=\Delta DFO\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> BE = FD

\(\Rightarrow\Delta BEDF\text{ là }HBH\)

b) \(\Delta BHC~\Delta DKC\) (g.g)

\(\widehat{H}=\widehat{G}=90^o\) 

\(\widehat{CBH}=\widehat{CDK}\) (vì 2 góc này kề bù vs 2 góc bằng nhau là \(\widehat{CBA}=\widehat{ADC}\)) 

\(\Rightarrow\frac{BC}{DC}=\frac{HC}{KC}\)

\(\Rightarrow CB.CK=CH.CD\)

c) Ta có: \(\Delta ABE~\Delta ACH\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AH}\)

\(\Rightarrow AB.AH=AE.AC\)

\(\Leftrightarrow AD.AK=AF.AC\)

\(\Rightarrow AB.AH+AD.AK=AC.\left(AF+AE\right)=AC.2AO=AC^2\)