Đầu tiên ta nhắc lại một kết quả sau: Với mọi số dương \(x,y\) thì \(\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{1}{3}.\) Thực vậy bất đẳng thức tương đương với \(3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge x^2+xy+y^2\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)-4xy\ge0\Leftrightarrow2\left(x-y\right)^2\ge0.\) (Đúng).

Đặt vế trái của bất đẳng thức là \(S\) và đặt \(T=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}.\) Áp dụng hằng đẳng thức \(x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right),\) ta được

\(S-T=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2+ca+a^2}=\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)=0\).

Suy ra \(S=T.\) Ta có 
\(2S=S+T=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
            
                             \(=\left(a+b\right)\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}+\left(b+c\right)\frac{b^2-bc+c^2}{b^2+bc+c^2}+\left(c+a\right)\frac{c^2-ca+a^2}{c^2+ca+a^2}\)
                            \(\ge\frac{a+b}{3}+\frac{b+c}{3}+\frac{c+a}{3}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}.\)

Do đó \(2S\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\to S\ge\frac{a+b+c}{3}.\)
 

Cho mk hỏi tại sao lại phải đặt thêm biểu thức T vậy ???

Mk vẫn ko hiểu cho lắm !!!

Một số đánh giá: \(a^2+ab+b^2=\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2\)

\(ab=\frac{\left(a+b\right)^2}{4}-\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{a\left(a^2+ab+b^2\right)-a\left(ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\)

\(\ge a-\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}.\left(a+b\right)}{\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2}=a-\frac{a+b}{3}=\frac{2a-b}{2}\)

Tương tự và suy ra đpcm.

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge a^2+b^2+c^2\)

Lần sau đăng ít một thôi toàn bài dài :v, ko phải ko làm mà là ngại làm

a)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{a}{2a+b+c}=\frac{a}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{b}{a+2b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right);\frac{c}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{4}\)

Xảy ra khi \(a=b=c\)

b)Đặt \(THANG=abc\left(a^2+bc\right)\left(b^2+ac\right)\left(c^2+ab\right)>0\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{b+c}{a^2+bc}-\frac{c+a}{b^2+ac}-\frac{a+b}{a^2+ab}\)

\(=\frac{a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4-a^4b^2c^2-b^4c^2a^2-c^4a^2b^2}{THANG}\)

\(=\frac{\left(a^2b^2-b^2c^2\right)^2+\left(b^2c^2-c^2a^2\right)+\left(c^2a^2-a^2b^2\right)^2}{2THANG}\ge0\) (Đúng)

Xảy ra khi \(a=b=c\)

c)Ta có:\(\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}=\frac{ab\left(a-b\right)+ac\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}\)

Và \(\frac{b^2}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc\left(b-c\right)+ab\left(b-a\right)}{\left(c+a\right)\left(c^2+a^2\right)}\)

\(\frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}=\frac{ac\left(c-a\right)+bc\left(c-b\right)}{\left(b+a\right)\left(b^2+a^2\right)}\)

Cộng theo vế 3 đăng thức trên ta có:

\(VT-VP=Σ\left[\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}\right]\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)\cdotΣ\frac{ab\left(a-b\right)^2}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)}\ge0\)

2 bài cuối full quy đồng mệt thật :v

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM: \(ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}\Rightarrow a^2+ab+b^2\leq \frac{3}{2}(a^2+b^2)\)

\(\Rightarrow \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2}{3}.\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{2}{3}\left(a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\right)\)

Mà cũng theo BĐT AM-GM: \(\frac{ab^2}{a^2+b^2}\leq \frac{ab^2}{2ab}=\frac{b}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2}{3}\left(a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\right)\geq \frac{2}{3}(a-\frac{b}{2})\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(\Rightarrow \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\geq \frac{2}{3}(a-\frac{b}{2})+\frac{2}{3}(b-\frac{c}{2})+\frac{2}{3}(c-\frac{a}{2})=\frac{a+b+c}{3}\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Ta có:\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{a\left(a^2+ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\)

Lại có:\(a^2+ab+b^2\ge3ab\)

\(\Rightarrow a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3ab}=a-\frac{a+b}{3}\)

\(\Rightarrow\sum\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)

"="<=>a=b=c