Để tính quãng đường vật đi được sau 0,25 s, ta có thể sử dụng phương trình dao động điều hòa x = A * cos(2π/T * t + φ), trong đó x là vị trí của vật (cm), A là biên độ của vật (cm), T là chu kỳ của dao động (s), t là thời gian (s), và φ là góc pha ban đầu (rad).

Trong trường hợp này, phương trình dao động là x = 4cos(4πt + π/4). Ta có thể nhận thấy rằng biên độ của vật là 4 cm và chu kỳ của dao động là T = 1/4 s.

Để tính quãng đường vật đi được sau 0,25 s, ta thay t = 0,25 vào phương trình:

x = 4cos(4π * 0,25 + π/4)

x = 4cos(π + π/4)

x = 4cos(5π/4)

x ≈ 4 * (-0,7071)

x ≈ -2,8284 cm

Vậy, quãng đường vật đi được sau 0,25 s kể từ khi bắt đầu chuyển động là khoảng -2,8284 cm.

Để tính quảng đường và số lần vật qua vị trí x = -2cm trong khoảng thời gian từ t1 = 0.25s đến t2 = 2.125s, chúng ta cần tìm giá trị của t khi vị trí x bằng -2cm.

Theo phương trình x = 4cos(4πt + x/4), ta có: 4cos(4πt + x/4) = -2 cos(4πt + x/4) = -1/2

Để tìm giá trị của t, ta sử dụng hàm nghịch đảo của hàm cos: 4πt + x/4 = π + 2kπ hoặc 4πt + x/4 = 2π - 2kπ, với k là số nguyên.

Giải phương trình đầu tiên: 4πt + x/4 = π + 2kπ 4πt = π + 2kπ - x/4 t = (π + 2kπ - x/4) / (4π)

Giải phương trình thứ hai: 4πt + x/4 = 2π - 2kπ 4πt = 2π - 2kπ - x/4 t = (2π - 2kπ - x/4) / (4π)

Từ đây, ta có thể tính giá trị của t bằng cách thay x = -2cm, kết hợp với giá trị của k từ t1 đến t2:

t1 = (π + 2kπ + 2/4) / (4π) t2 = (2π - 2kπ + 2/4) / (4π)

Từ đó, ta tính được quảng đường vật đi được: S1 = 4cos(4πt1 + x/4) S2 = 4cos(4πt2 + x/4)

Vậy, quảng đường và số lần vật qua vị trí x = -2cm từ t1=0.25s đến t2=2.125s là S2 - S1 và số lần vật qua vị trí x = -2cm sẽ là số k thỏa mãn trong khoảng từ t1 đến t2

Khi t = 0, ban đầu vật ở vị trí x = 2 cm, di chuyển ngược chiều dương

Khi x = 2√3 cm thì cung  Δφ = \(\dfrac{\text{7π}}{\text{6}}\)

=> Δt = \(\dfrac{\text{Δ}\text{φ}}{\text{ω}}\)= \(\dfrac{\text{7}}{\text{3}}\)s

Bạn vẽ vòng tròn lượng giác ra cho dễ làm hơn nha

Hình như đề phải là x = 4cos(0.5π.t - \(\dfrac{\text{π}}{\text{3}}\)) cm chứ bạn

Do ban đầu vật ở vị trí có pha là \(\dfrac{\pi}{6}\)

⇒ Thời gian để vật đi qua vị trí có li độ x = 2 cm lần thứ nhất là 

\(\dfrac{T}{12}=\dfrac{2\pi}{12w}=\dfrac{2\pi}{12\cdot4\pi}=\dfrac{1}{24}\left(s\right)\)

Thời gian để vật đi qua vị trí có li độ x = 2 cm lần thứ 2 đến lần thứ 2013 là 

\(\dfrac{2012}{2}\cdot T=\dfrac{2012}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=503\left(s\right)\)

Vậy tổng thời gian là \(503+\dfrac{1}{24}\simeq503,042\left(s\right)\)

Tốc độ trung bình = quãng đường đi được trong thời gian t chia cho thời gian đi.

\(v=\frac{s}{t}.\)

v min khi s min. 

s min khi quãng đường đi được ứng với một cung tròn \(\widehat{aNb}\) lấy biên làm trung điểm. Như hình tròn ở dưới. (Nếu S max thì quãng đường đi được ứng với cung tròn lấy vị trí cân bằng làm trung điểm)

\(t=\frac{T}{6}\Rightarrow\widehat{aNb}=t.\omega=\frac{2T}{3}.\frac{2\pi}{T}=\frac{4\pi}{3}>\pi.\)

 \(S_{min}=s_1\left(\pi\right)+s_{2min}\left(\frac{\pi}{3}\right)\)Do cung lớn hơn 180 độ ta tách \(\pi+\frac{\pi}{3}.\) 

\(s_1\left(\pi\right)=2A.\) là quãng đường đi được ứng với cung 180 độ.

Tính quãng đường nhỏ nhất đi được ứng với cung 60 độ \(s_{2min}\left(\frac{\pi}{3}\right)\)

=> \(\varphi=\frac{\frac{\pi}{3}}{2}=\frac{\pi}{6}.\)

Tương ứng với cung tròn ​\(aNb\) là \(s_{2min}=2.MN=2.\left(A-A\cos\varphi\right)=2A\left(1-\cos\varphi\right).\)

\(s_{min}=s_1+s_2=2A+2A\left(1-\cos30\right)=9,07cm.\)

​​vận tốc trung bình là \(v=\frac{s}{t}=\frac{9,07}{\frac{2T}{3}}=13,6\)cm/s. 

Phương trình tổng quát: \(x = Acos(\omega t +\varphi)\)

+ \(\omega = 2\pi f = 2\pi .10 = 20\pi \ (rad/s) \)

+ A = 4cm.

+ t = 0, vật qua x₀ = A \(\Rightarrow\left\{ \begin{array}{} x_0 = 4\ cm\\ v_0 =0 \end{array} \right.\)\(\Rightarrow\left\{ \begin{array}{} \cos \varphi = 1\ cm\\ \sin \varphi = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \varphi = 0\)

Vậy phương trình dao động: \(x = 4\cos(20\pi t) \ (cm)\)

\(20-10\sqrt{2\left(A-\frac{A}{\sqrt{2}}\right)}\Rightarrow\frac{T}{4}=1\Rightarrow T=4\left(s\right)\)

\(S=S_{2012}-S_{2011}=A\sqrt{2}=10\sqrt{2}\) (cm)