\(x+y=a\left(1\right)\)

\(x-y=b\left(2\right)\)

\(\left(1\right)+\left(2\right)\Rightarrow2x=a+b\Rightarrow x=\dfrac{a+b}{2}\)

\(\left(1\right)\Rightarrow y=a-x\Rightarrow y=a-\dfrac{a+b}{2}\Rightarrow y=\dfrac{a-b}{2}\)

\(xy=\dfrac{\left(a+b\right)}{2}.\dfrac{\left(a-b\right)}{2}=\dfrac{a^2-b^2}{4}\)

\(x^3-y^3=\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3-\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^3=\dfrac{\left(a+b\right)^3}{8}-\dfrac{\left(a-b\right)^3}{8}\)

\(=\dfrac{\left(a+b\right)^3-\left(a-b\right)^3}{8}\)

\(=\dfrac{\left(a+b-a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)\left(a-b\right)+\left(a-b\right)^2\right]}{8}\)

\(=\dfrac{2b\left[a^2+b^2+2ab+a^2-b^2+a^2+b^2-2ab\right]}{8}\)

\(=\dfrac{b\left[3a^2+b^2+2ab\right]}{4}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\x-y=b\end{matrix}\right.\) tính \(x^3\) - y³ theo \(a\) và \(b\)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+x-y=a+b\\x-y=b\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}2x=a+b\\y=x-b\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x=\left(a+b\right):2\\y=\left(a-b\right):2\end{matrix}\right.\) ⇒ \(xy\) = \(\dfrac{a+b}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{a-b}{2}\) = \(\dfrac{a^2-b^2}{4}\)

\(x^{3^{ }}\) - y³ = (\(x\) - y)(\(x^2\) + \(x\)y + y²) = \(\left(x-y\right)\)\(\left(\left[x+y\right]^2-xy\right)\) (1)

Thay \(x-y\) = a; \(x\) + y = b và \(xy\) = \(\dfrac{a^2-b^2}{4}\) vào (1) ta có:

\(x^3\) - y³ = b.(a² - \(\dfrac{a^2-b^2}{4}\)) = b.\(\dfrac{3a^2+b^2}{4}\) = \(\dfrac{3a^2b+b^3}{4}\)

a) Để tính giá trị của biểu thức x^4 + y^4, ta có thể sử dụng công thức Newton về tổng lũy thừa của một đa thức. Theo công thức Newton, ta có: x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 Từ đó, ta có thể tính giá trị của biểu thức x^4 + y^4 theo a và b: x^4 + y^4 = (a^2 - 2b)^2 - 2(a - 2b)b b) Tương tự, để tính giá trị của biểu thức x^5 + y^5, ta có thể sử dụng công thức Newton về tổng lũy thừa của một đa thức. Theo công thức Newton, ta có: x^5 + y^5 = (x + y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4) Từ đó, ta có thể tính giá trị của biểu thức x^5 + y^5 theo a và b: x^5 + y^5 = (a)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)

ccc

a) Rút gọn P = x 4 y ; thay x = 10 và y = − 1 10  và biểu thức ta được P = 10 4 . − 1 10 = − 10 3 .  

b) Nhận xét: Ta thấy biểu thức Q không thể rút gọn và việc thay trực tiếp x = 31 vào biểu thức khiến tính toán phức tạp. Với x = 31 thì 30 = 31 – 1 = x – 1.

Do đó Q =  x 3   –   ( x   –   1 ) x 2   –   x 2   +   1

Rút gọn Q = 1.

a) Cách 1; Thay a = 2003; b = 1997 vào biểu thức rồi thực hiện tính toán thu được A = 12000.

Chú ý: Trong biểu thức trên việc thay trực tiếp khiến việc tính toán khó khăn.

Cách 2: Phân tích A = (b + 3)(a - b), thay a = 2003 và b = 1997 vào biểu thức A = 12000.

b) Phân tích B = (b - 8)(b + c), thay = 108 và c = -8 vào biểu thức B = 10000.

c) Với xy = 8; x + y = 7, ta không tìm được giá trị nguyên x, y. Phân tích c = (x + y)(xy - 2), thay xy = 8; x + y = 7 vào biểu thức c = 42.

d) Phân tích D = (x + 2y)( x 5   -   x 3 y   +   x 2 y 2 )

Nhận xét: Với x -10; y = -5  Þ x+ 2y = 0 => D = 0.

\(x^7+y^7=\left(x^3+y^3\right)\left(x^4+y^4\right)-x^3y^4-x^4y^3\)

Biểu diễn các số hạng theo a, b

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=a^3-3ab\)

\(x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=\left(a^2-2b\right)^2-2b^2\)

Khi đó:\(x^7+y^7=\left(a^3-3ab\right)\left[\left(a^2-2b\right)^2-2b^2\right]-ab^3\)

x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=a^3-3*\(\frac{\left(x+y\right)^2-x^2-y^2}{^{^{ }}2}\)*a=a^3-3*\(\frac{a^2-b}{2}\)*a

Lời giải:
a.

$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=9^3-3.9.18=243$

$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=[(x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2$

$=[9^2-2.18]^2-2.18^2=1377$

Nếu $x\geq y$ thì:

$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

$=|x-y|[(x+y)^2-xy]=\sqrt{(x+y)^2-4xy}[(x+y)^2-xy]$

$=\sqrt{9^2-4.18}(9^2-18)=189$

Nếu $x< y$ thì $x^3-y^3=-189$

b.

$A=(x+y)^2-6(x+y)+y-5$

$=(-9)^2-6(-9)+y-5=130+y$

Chưa đủ cơ sở để tính biểu thức.

a) \(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=9^3-3\cdot18\cdot9=243\)

\(x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2\)

\(=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2-2\left(xy\right)^2\)

\(=\left(9^2-2\cdot18\right)^2-2\cdot18^2\)

\(=45^2-2\cdot324\)

=1377

a: \(=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\)

\(=74\cdot100=7400\)

c: \(=\left(x+2\right)^3\)

\(=10^3=1000\)

a) \(=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\)

    Thay \(x=87;y=13\) ta đc:   \(\left(87-13\right)\left(87+13\right)=74\cdot100=7400\)

b)\(=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=x^3-y^3\)

   Thay \(x=10;y=-1\) ta đc:

    \(10^3-\left(-1\right)^3=1000-1=999\)

c)\(=\left(x+2\right)^3\)

   Thay \(x=8\) ta đc: \(\left(8+2\right)^3=10^3=1000\)

d)\(=x^2-8x+16+1=\left(x-4\right)^2+1\)

   Thay \(x=104\) ta đc: \(\left(104-4\right)^2+1=100^2+1=10001\)

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\)

\(=24^3-3\cdot24\cdot18\)

\(=13824-1296\)

=12528