Xét \(\Delta ABC\) ta có:

\(\widehat B + \widehat {BAC} + \widehat {BCA} = 180^\circ \) (tính chất tổng ba góc trong tam giác)

Xét \(\Delta DAC\) ta có:

\(\widehat D + \widehat {DAC} + \widehat {DCA} = 180^\circ \)

Ta có:

\(\widehat B + \widehat {BAC} + \widehat {BCA} + \widehat D + \widehat {DAC} + \widehat {DCA} = 180^\circ  + 180^\circ \)

\(\widehat B + \widehat D + \left( {\widehat {BAC} + \widehat {DAC}} \right) + \left( {\widehat {BCA} + \widehat {DCA}} \right) = 360^\circ \)

\(\widehat B + \widehat D + \widehat {BAD} + \widehat {BCD} = 360^\circ \)

Vậy tổng các góc của tứ giác \(ABCD\) bằng \(360^\circ \)

Chứng minh tương tự, ta có tam giác AKD là tam giác cân tại K có KI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

⇒ IK ⊥ AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra; IK là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.

1/ Xét tam giác ABE và CDF có:

\(\widehat{AEB}=\widehat{CFD}=90^o\)

AB = CD (Hai cạnh đối của hình bình hành)

\(\widehat{BAE}=\widehat{DCF}\) (So le trong)

nên \(\Delta ABE=\Delta CDF\) (Cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow BE=DF\)

Lại có BE và DF cùng vuông góc với AC nên BE // DF

Xét tứ giác BEDF có BE // DF và BE = DF nên BEDF là hình bình hành,

2/ Ta có do BC// AD nên \(\widehat{HBC}=\widehat{BAD}\)  (Hai góc đồng vị)

Dó AB// CD nên \(\widehat{KDC}=\widehat{BAD}\)  (Hai góc đồng vị)

Vậy nên \(\widehat{KDC}=\widehat{HBC}\)

Suy ra \(\Delta CHB\sim\Delta CKD\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{CH}{CK}=\frac{CB}{CD}\Rightarrow\frac{CH}{CK}=\frac{CB}{AB}\)  

Theo tính chất góc ngoài, ta có \(\widehat{ABC}=\widehat{BHC}+\widehat{HCB}=90^o+\widehat{HCB}\)

Do BC // AD; \(CK\perp AD\Rightarrow CK\perp BC\)

Suy ra  \(\widehat{KCH}=\widehat{KCB}+\widehat{HCB}=90^o+\widehat{HCB}\)

Vậy \(\widehat{ABC}=\widehat{KCH}\)

Xét tam giác ABC và KCH có:

\(\widehat{ABC}=\widehat{KCH}\)

\(\frac{CH}{CK}=\frac{CB}{AB}\)

nên \(\Delta ABC\sim\Delta KCH\left(c-g-c\right)\)

*)  Ta có \(\Delta ABE\sim\Delta ACH\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AH}\Rightarrow AB.AH=AC.AE\)

Tương tự \(\Delta AFD\sim\Delta AKC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AF}{AK}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow AD.AK=AC.AF\)

Suy ra \(AB.AH+AD.AK=AC.AE+AC.AF=AC\left(AE+AF\right)\)

Theo câu a, \(\Delta ABE=\Delta CDF\Rightarrow AE=CF\)

Vậy thì AE + AF = CF + AF = AC

Hay AB.AH + AD.AK = AC.AC = AC²

cảm ơn bạn nhiều ạ ! @Hoàng_Thị_Thu_Huyền ! 

phần vậy cuối giải hơi lằng nhằng:

AB.AH+AD.AK=AC.AE+AC.AF

AB.AH+AD.AE=AC(AE+AF)=AC²

Đáp án C.

Phần thể tích chung của 2 hình nón T₁ và T₂ là 2 hính nón tạo bởi việc quay 2 tam giác HIB và HIC quanh BC.

a: góc A=góc IFA=góc IEA=90 độ

=>AEIF là hcn

mà IF=IE

nên AEIF là hv

b: ΔABD vuông tại D

=>M là trung đuiểm của AB

ΔACD vuông tại D

=>N là trung điểm của AC

Xét ΔNAM và ΔNDM có

NA=ND

MA=MD

NM chung

=>ΔNAM=ΔNDM

=>góc NDM=góc NAM=90 độ

=>AMDN nội tiếp

- Theo giả thiết:

ta có:

- Vậy ta có:

- Lại có:

giúp em với ạ.Em cảm ơn nhiềuu

b: Ta có: BC=BH+HC

nên BC=4+9

hay BC=13cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=2\sqrt{13}cm\\AC=3\sqrt{13}cm\end{matrix}\right.\)

Xét ΔBAC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}\)

\(\cos\widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}\)

\(\tan\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{2}\)

\(\cot\widehat{ABC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2}{3}\)