a) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} =[2\left( {n + 1} \right) - 1] - (2n - 1) = 2\left( {n + 1} \right) - 1 - 2n + 1 = 2 > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\;\forall \;n \in {N^*}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

b) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = [- 3\left( {n + 1} \right) + 2] - (3n +  2) =  - 3\left( {n + 1} \right) + 2 + 3n - 2 =  - 3 < 0\;\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

c, Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = \frac{{{{( - 1)}^{1 - 1}}}}{{{2^1}}} = \frac{1}{2} > 0\\{u_2} = \frac{{{{( - 1)}^{2 - 1}}}}{{{2^2}}} =  - \frac{1}{4} < 0\\{u_3} = \frac{{{{( - 1)}^{3 - 1}}}}{{{2^3}}} = \frac{1}{8} > 0\\{u_4} = \frac{{{{( - 1)}^{4 - 1}}}}{{{2^4}}} =  - \frac{1}{{16}} < 0\\...\end{array}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số không tăng không giảm.

Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 1 + 1}} = \frac{1}{{n + 2}}\).

Mà \(\left( {n + 2} \right) > \left( {n + 1} \right)\) suy ra \(\frac{1}{{n + 2}} < \frac{1}{{n + 1}}\).

Tức là \({u_{n + 1}} < {u_n},\;\forall n \in {N^*}\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

\(u_{n+1}=\dfrac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}=\dfrac{3\cdot3^n-1}{2\cdot2^n}\)

Ta có: 

\(u_{n+1}-u_n=\dfrac{3\cdot3^n-1}{2\cdot2^n}-\dfrac{3^n-1}{2^n}=\dfrac{3\cdot3^n-1-2\cdot3^n+2}{2\cdot2^n}=\dfrac{3^n+1}{2^{n+1}}>0\forall x\in N\)*

Do đó, \(u_{n+1}-u_n>0\Leftrightarrow u_{n+1}>u_n\)

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.

a)    Xét:

  \(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1 - 3}}{{n + 1 + 2}} - \frac{{n - 3}}{{n + 2}}\\ = \frac{{n - 2}}{{n + 3}} - \frac{{n - 3}}{{n + 2}} = \frac{{{n^2} - 4 - {n^2} + 9}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \frac{5}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)  

=> Dãy số là dãy số tăng

b)    Xét:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} - \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\\ = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{{2.2}^n}.n!.\left( {n + 1} \right)}} - \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\\ = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} - \frac{{{3^n}.2\left( {n + 1} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}}\\ = \frac{{{3^n}\left( {3 - 2n - 2} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} = \frac{{{3^n}\left( { - 2n + 1} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} < 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

 => Dãy số là dãy số giảm

c)    Xét:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}.\left( {{2^{n + 1}} + 1} \right) - {\left( { - 1} \right)^n}.\left( {{2^n} + 1} \right)\\ = {\left( { - 1} \right)^n}\left[ {\left( { - 1} \right).\left( {{2^{n + 1}} + 1} \right) - {2^n} - 1} \right]\\ = {\left( { - 1} \right)^n}\left( { - {2^{n + 1}} - 1 - {2^n} - 1} \right)\\ = {\left( { - 1} \right)^n}\left( { - {{3.2}^n} - 2} \right)\end{array}\)

=> Dãy số không tăng không giảm.

a) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\)

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}} - \frac{{{n^2}}}{{n + 1}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^3} - {n^2}\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 - {n^3} - 2{n^2}}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0\) với mọi n ∈ ℕ*.

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

b) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{2}{{{5^{n + 1}}}}\)

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{2}{{{5^{n + 1}}}} - \frac{2}{{{5^n}}} = - \frac{4}{5}.\frac{2}{{{5^n}}} = - \frac{8}{{{5^{n + 1}}}} < 0\)

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

Lời giải:

Với $n$ lẻ bất kỳ:
$u_n<0; u_{n+1>0; u_{n+2}< 0$

$\Rightarrow u_n< u_{n+1}> u_{n+2}$ với mọi $n$ lẻ bất kỳ

Do đó dãy không tăng cũng không giảm.

Ta có: \(u_n=\dfrac{2n+1}{n+2}=\dfrac{2\left(n+2\right)-3}{n+2}=2-\dfrac{3}{n+2}\)

\(\forall x\in N\)*, ta có:

\(n+2>0\Leftrightarrow\dfrac{3}{n+2}>0\Leftrightarrow2-\dfrac{3}{n+2}< 2\Leftrightarrow u_n< 2\)

Vậy \(\left(u_n\right)\) bị chặn trên.

\(n\ge1\Leftrightarrow n+2\ge3\Leftrightarrow\dfrac{3}{n+2}\le1\Leftrightarrow2-\dfrac{3}{n+2}\ge1\Leftrightarrow u_n\ge1\)

Vậy \(\left(u_n\right)\) bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn.