+) Ta có: \(AB \bot AC \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC}  \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\)

+) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overline {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right)\)

Ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt 2  \Leftrightarrow \sqrt {2A{C^2}}  = \sqrt 2 \)\( \Rightarrow AC = 1\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = 1.\sqrt 2 .\cos \left( {45^\circ } \right) = 1\)

+) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 1.\sqrt 2 .\cos \left( {45^\circ } \right) = 1\)

\(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OD} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OE} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OF} } \right)\)

Qua M kẻ các đường thẳng \({M_1}{M_2}//AB;{M_3}{M_4}//AC;{M_5}{M_6}//BC\)

Từ đó ta có: \(\widehat {M{M_1}{M_6}} = \widehat {M{M_6}{M_1}} = \widehat {M{M_4}{M_2}} = \widehat {M{M_2}{M_4}} = \widehat {M{M_3}{M_5}} = \widehat {M{M_5}{M_3}} = 60^\circ \)

Suy ra các tam giác \(\Delta M{M_3}{M_5},\Delta M{M_1}{M_6},\Delta M{M_2}{M_4}\) đều

Áp dụng tính chất trung tuyến \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\)(với M là trung điểm của BC) ta có:

\(\overrightarrow {ME}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}}  + \overrightarrow {M{M_6}} } \right);\overrightarrow {MD}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}}  + \overrightarrow {M{M_4}} } \right);\overrightarrow {MF}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_3}}  + \overrightarrow {M{M_5}} } \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}}  + \overrightarrow {M{M_4}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}}  + \overrightarrow {M{M_6}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_3}}  + \overrightarrow {M{M_5}} } \right)\)

Ta có: các tứ giác \(A{M_3}M{M_1};C{M_4}M{M_6};B{M_2}M{M_5}\) là hình bình hành

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có

\(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}}  + \overrightarrow {M{M_4}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}}  + \overrightarrow {M{M_6}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_3}}  + \overrightarrow {M{M_5}} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}}  + \overrightarrow {M{M_3}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}}  + \overrightarrow {M{M_5}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_4}}  + \overrightarrow {M{M_6}} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {MA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {MB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {MC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC} } \right)} \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {3\overrightarrow {MO}  + \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right)} \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \) (đpcm)

Vậy \(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \)

Đặt \(AB=a\Rightarrow AC=2a\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=a\sqrt{5}\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{a^2}{a\sqrt{5}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}=\dfrac{1}{5}.a\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow BH=\dfrac{1}{5}BC\Rightarrow\overrightarrow{BH}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{5}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AC}\)

\(=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{4}{5}\\k=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S=\dfrac{10.4}{5}+\dfrac{2020.1}{5}=412\)

Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác

A₁B₁ // AB; A₂C₂ // AC; B₂C₁ // BC.

Dễ thấy các tam giác MB₁C₂; MA₁C₁;MA₂B₂ đều là các tam giác đều. Ta lại có MD B₁C₂ nên MD cũng là trung điểm thuộc cạnh B₁C₂ của tam giác MB₁C₂

Ta có 2 = +

Tương tự: 2 = +

2 = +

=> 2( ++) = (+) + ( + ) + (+)

Tứ giác là hình bình hành nên

+ =

Tương tự: + =

+ =

=> 2( ++) = ++

vì O là trọng tâm bất kì của tam giác và M là một điểm bất kì nên

++ = 3.

Cuối cùng ta có:

2( ++) = 3;

=> ++ =