Ta có : 

\(A=2+2^2+2^3+2^4...2^{2010}\)\(^0\)

\(=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{2009}\left(1+2\right)\)

\(=2.3+2^3.3+....+2^{2009}.3\)

\(=3\left(2+2^3+....+2^{2009}\right)⋮3\)

Ta có :

\(2+2^2+2^3+2^4+....+2^{2010}\)

\(=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+...+2^{2008}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=2.7+2^4.7+....+2^{2008}.7\)

\(=7\left(2+2^4+....+2^{2008}\right)⋮7\)

Vậy \(2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^{2010}⋮3\) và \(7\)

Bài 1:

\(a,A=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{2009}+2^{2010}\right)\\ A=\left(1+2\right)\left(2+2^3+...+2^{2009}\right)=3\left(2+...+2^{2009}\right)⋮3\\ A=\left(2+2^2+2^3\right)+...+\left(2^{2008}+2^{2009}+2^{2010}\right)\\ A=\left(1+2+2^2\right)\left(2+...+2^{2008}\right)=7\left(2+...+2^{2008}\right)⋮7\)

\(b,\left(\text{sửa lại đề}\right)B=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+...+\left(3^{2009}+3^{2010}\right)\\ B=\left(1+3\right)\left(3+3^3+...+3^{2009}\right)=4\left(3+3^3+...+3^{2009}\right)⋮4\\ B=\left(3+3^2+3^3\right)+...+\left(3^{2008}+3^{2009}+3^{2010}\right)\\ B=\left(1+3+3^2\right)\left(3+...+3^{2008}\right)=13\left(3+...+3^{2008}\right)⋮13\)

Bài 2:

\(a,\Rightarrow2A=2+2^2+...+2^{2012}\\ \Rightarrow2A-A=2+2^2+...+2^{2012}-1-2-2^2-...-2^{2011}\\ \Rightarrow A=2^{2012}-1>2^{2011}-1=B\\ b,A=\left(2020-1\right)\left(2020+1\right)=2020^2-2020+2020-1=2020^2-1< B\)

đúng rùi

TK :

A=(2+2²)+(2³+2⁴)+...+(2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰)

A=(1+2)(2+2³+...+2²⁰⁰⁹)=3(2+...+2²⁰⁰⁹)⋮3

A=(2+2²+2³)+...+(2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰ )

A=(1+2+2²)(2+...+2²⁰⁰⁸)=7(2+...+2²⁰⁰⁸)⋮7

Em xem lại đề nhé vì A như thế không chia hết cho 3 và cho 7

A = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁰

= (2¹ + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰)

= 2.(1 + 2) + 2³.(1 + 2) + ... + 2²⁰⁰⁹.(1 + 2)

= 2.3 + 2³.3 + ... + 2²⁰⁰⁹.3

= 3.(2 + 2³ + ... + 2²⁰⁰⁹) ⋮ 3

Vậy A ⋮ 3 (1)

A = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁰

= (2¹ + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ... + (2²⁰⁰⁸ + 2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰)

= 2.(1 + 2 + 2²) + 2⁴.(1 + 2 + 2²) + ... + 2²⁰⁰⁸.(1 + 2 + 2²)

= 2.7 + 2⁴.7 + ... + 2²⁰⁰⁸.7

= 7.(2 + 2⁴ + ... + 2²⁰⁰⁸) ⋮ 7

Vậy A ⋮ 7 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ A ⋮ 3 và A ⋮ 7

ai bbt giúp mk

A = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁰

= (2¹ + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰)

= 2.(1 + 2) + 2³.(1 + 2) + ... + 2²⁰⁰⁹.(1 + 2)

= 2.3 + 2³.3 + ... + 2²⁰⁰⁹.3

= 3.(2 + 2³ + ... + 2²⁰⁰⁹) ⋮ 3

Vậy A ⋮ 3

A = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁰

= (2¹ + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ... + (2²⁰⁰⁸ + 2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰)

= 2.(1 + 2 + 2²) + 2⁴.(1 + 2 + 2²) + ... + 2²⁰⁰⁸.(1 + 2 + 2²)

= 2.7 + 2⁴.7 + ... + 2²⁰⁰⁸.7

= 7.(2 + 2⁴ + ... + 2²⁰⁰⁸) ⋮ 7

Vậy A ⋮ 7 

 Cách 1: Cái này là định lý Fermat nhỏ thôi bạn. Tổng quát hơn:

 Cho số nguyên dương a và số nguyên tố p. Khi đó \(a^p\equiv a\left[p\right]\)

 Ta chứng minh định lý này bằng cách quy nạp theo a:

 Với \(a=1\) thì \(1^p\equiv1\left[p\right]\), luôn đúng.

 Giả sử khẳng định đúng đến \(a=k\left(k\inℕ^∗\right)\). Khi đó \(k^p\equiv k\left[p\right]\). Ta cần chứng minh khẳng định đúng với \(a=k+1\). Thật vậy, với \(a=k+1\), ta có:

 \(\left(k+1\right)^p=k^p+C^1_p.k^{p-1}+C^2_pk^{p-2}...+C^{p-1}_pk^1+1\)    (*)

 ((*) áp dụng khai triển nhị thức Newton, bạn có thể tìm hiểu trên mạng)

 (Ở đây kí hiệu \(C^n_m=\dfrac{m!}{n!\left(m-n\right)!}\) với \(m\ge n\) là các số tự nhiên và kí hiệu \(x!=1.2.3...x\)) 

 Ta phát biểu không chứng minh một bổ đề quan trọng sau: Với p là số nguyên tố thì \(C^i_p⋮p\) với mọi \(1\le i\le p-1\)

 Do đó vế phải của (*) \(\equiv k^p+1\left[p\right]\). Thế nhưng theo giả thiết quy nạp, có \(k^p\equiv k\left[p\right]\) nên \(k^p+1\equiv k+1\left[p\right]\), suy ra \(\left(k+1\right)^p\equiv k+1\left[p\right]\)

 Vậy khẳng định đúng với \(a=k+1\). Theo nguyên lí quy nạp, suy ra điều phải chứng minh. Áp dụng định lý này cho số nguyên tố \(p=7\) là xong.

 Cách 2: Đối với những số nhỏ như số 7 thì ta có thể làm bằng pp phân tích đa thức thành nhân tử để cm là được:

 \(P=a^7-a\) 

 \(P=a\left(a^6-a\right)\)

 \(P=a\left(a^3-1\right)\left(a^3+1\right)\)

 \(P=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+a+1\right)\)

Nếu \(a⋮7,a\equiv\pm1\left[7\right]\) thì hiển nhiên \(P⋮7\)

Nếu \(a\equiv\pm2\left[7\right];a\equiv\pm3\left[7\right]\) thì \(\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+a+1\right)⋮7\), suy ra \(P⋮7\). Vậy \(a^7-a⋮7\)

a,A=(2+2²)+(2³+2⁴)+...+(2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰)

A=(1+2)(2+2³+...+2²⁰⁰⁹)=3(2+...+2²⁰⁰⁹)⋮3

A=(2+2²+2³)+...+(2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰)

A=(1+2+2²)(2+...+2²⁰⁰⁸)=7(2+...+2²⁰⁰⁸)⋮7

\(7^{2021}+7^{2020}-7^{2019}=7^{2019}.7^2+7^1.7^{2020}-7^{2019}.1\)

\(=7^{2019}\left(7^2+7-1\right)=7^{2019}\left(49+7-1\right)=7^{2019}.55\)

Mà \(55⋮11\Leftrightarrow7^{2019}.55⋮11\)

Vậy \(7^{2021}+7^{2020}-7^{2019}⋮11\)

em ko biết em mới học lơp3thui

thank you bạn Minh nha!

Có vì mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho 2 do là lũy thừa của 2

tổng trên chia hết cho 2 vì mỗi số hạng ở tổng trên đều chia hết cho 2

có chứ còn lời giải của Đặng Khánh

\(A=2\left(1+2+2^2\right)+...+2^{2008}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=7\left(2+...+2^{2008}\right)⋮7\)

đây nha ^^