Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng:
a, AE2 = EK.EG b, \(\dfrac{1}{AE}=\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}\)
Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G . Chứng minh rằng
a) AE2 = EK.EG
b) \(\dfrac{AE}{AK}+\dfrac{AE}{AG}=1\)
Cho hình bình hành \(ABCD\). Đường thẳng \(a\) đi qua \(A\) cắt \(BD,BC,DC\) lần lượt tại \(E,K,G\) (Hình 10). Chứng minh rằng:
a) \(A{E^2} = EK.EG\);
b) \(\frac{1}{{AE}} = \frac{1}{{AK}} + \frac{1}{{AG}}\).
a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB//CD;AD//BC\)
\( \Rightarrow AB//DG;AB//CG;BK//AD;KC//AD\)
Xét tam giác \(DEG\) có \(AB//DG\), theo hệ quả của định lí Thales ta có:
\(\frac{{AE}}{{EG}} = \frac{{EB}}{{ED}}\) (1)
Xét tam giác \(ADE\) có \(BK//AD\), theo hệ quả của định lí Thales ta có:
\(\frac{{EK}}{{AE}} = \frac{{EB}}{{ED}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra, \(\frac{{AE}}{{EG}} = \frac{{EK}}{{AE}} \Rightarrow A{E^2} = EG.EK\) (điều phải chứng minh).
b) Xét tam giác \(AED\) có:
\(AD//BK \Rightarrow \frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{DE}}{{DB}}\)(3)
Xét tam giác \(AEB\) có
\(AB//BK \Rightarrow \frac{{AE}}{{AG}} = \frac{{BE}}{{BD}}\) (4)
Từ (3) và (4) ta được:
\(\frac{{AE}}{{AK}} + \frac{{AE}}{{AG}} = \frac{{DE}}{{BD}} + \frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{BD}} = 1\)
Ta có: \(\frac{{AE}}{{AK}} + \frac{{AE}}{{AG}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{{AE}} = \frac{1}{{AK}} + \frac{1}{{AG}}\) (chia cả hai vế cho \(AE\)) (điều phải chứng minh).
Một đường thẳng đi qua đỉnh A của bình hành ABCD cắt cạnh BC ở K cắt BD;DC theo thứ tự ở E;G.Chứng minh rằng:
1.AE.BE=EK.ED và EG.BE=AE.ED
2.1/AE=1/AK+1/AG
Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD ở E và cắt BC,DC theo thứ tự ở K,G.CMR:
a)AE2=EK.EG;
b)1/AE=1/AK+1/AG.
a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành (gt).
=> \(AB\) // \(CD\) và \(AD\) // \(BC\) (định nghĩa hình bình hành).
Hay \(AB\) // \(DG\) và \(AD\) // \(BK.\)
+ Xét \(\Delta ADE\) có:
\(AD\) // \(BK\left(cmt\right)\)
=> \(\frac{AE}{EK}=\frac{DE}{BE}\) (định lí Ta - lét) (1).
+ Xét \(\Delta DEG\) có:
\(AB\) // \(DG\left(cmt\right)\)
=> \(\frac{EG}{AE}=\frac{DE}{BE}\) (định lí Ta - lét) (2).
Từ (1) và (2) => \(\frac{AE}{EK}=\frac{EG}{AE}.\)
=> \(AE.AE=EK.EG\)
=> \(AE^2=EK.EG\)
b) Xét \(\Delta ADE\) có:
\(AD\) // \(BK\left(cmt\right)\)
=> \(\frac{AE}{AK}=\frac{DE}{BD}\) (định lí Ta - lét) (3).
+ Xét \(\Delta DEG\) có:
\(AB\) // \(DG\left(cmt\right)\)
=> \(\frac{AE}{AG}=\frac{BE}{BD}\) (định lí Ta - lét) (4).
Từ (3) và (4) => \(\frac{AE}{AK}+\frac{AE}{AG}=\frac{DE}{BD}+\frac{BE}{BD}\)
=> \(AE.\left(\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}\right)=\frac{DE+BE}{BD}\)
=> \(AE.\left(\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}\right)=\frac{BD}{BD}\)
=> \(AE.\left(\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}\right)=1\)
=> \(\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}=\frac{1}{AE}.\)
Hay \(\frac{1}{AE}=\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
Cho hình bình hành $ABCD$ đường thẳng $a$ đi qua $A$ lần lượt cắt $BD$, $BC$, $DC$ tại $E$, $K$, $G$. Chứng minh rằng:
a) $AE^2=EK.EG$;
b) $\dfrac{1}{AE}=\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}$;
c) Khi $a$ thay đổi thì tích $BK.DG$ có giá trị không đổi?
a) có // suy ra (1)
có // suy ra (2)
Từ (1) và (2) ta có nên .
b) Từ suy ra
có // suy ra
a) có // suy ra (1)
có // suy ra (2)
Từ (1) và (2) ta có nên .
b) Từ suy ra
có // suy ra
Cho hình bình hành ABCD, một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành cắt BD,BC,DC theo thứ tự ở E,K,G.CMR:
a)AE^2=EK*EG
b)1/AE=1/AK+1/AG
c) khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK*DG có giá trị không đối
a) vì tứ giác ABCD là hình bình hành
=> AB // CD
=>AB // DG
=> \(\frac{EB}{ED}\)= \(\frac{AE}{EG}\) (1)
vì ABCD là hình bình hành
=> AD // BC
=> AD // BK
=>\(\frac{AE}{EG}\)= \(\frac{EK}{AE}\) (2)
TỪ (1) VÀ (2) => \(\frac{AE}{EG}\)= \(\frac{EK}{AE}\)
=> AE2 = EK . EG (đpcm)
b) vì AB // DG => \(\frac{AE}{AG}\)= \(\frac{BE}{BD}\)
MÀ AD // BK => \(\frac{AE}{AK}\)= \(\frac{DE}{BD}\)
CỘNG 2 VẾ TRÊN
=> \(\frac{AE}{AG}\)+ \(\frac{AE}{AK}\) = \(\frac{BE}{BD}+\frac{DE}{BD}=1\)
<=> AE ( \(\frac{1}{AG}+\frac{1}{AK}\)) = 1
<=> \(\frac{1}{AG}+\frac{1}{AK}\)= \(\frac{1}{AE}\) (đpcm)
c) vì AD // BK => \(\frac{BK}{AD}=\frac{EB}{DE}\)
CÓ AB // DG => \(\frac{AB}{DG}=\frac{BE}{DE}\)
=> \(\frac{BK}{AD}=\frac{AB}{DG}\)
=> BD . DG = AB . AD
mà AB, AD là các cạnh của hình bình hành ABCD => AB . AD không đổi
=> BK . DG không đổi (đpcm)
cho hình bình hành ABCD, qua A kẻ đường thẳng cắt BD và CD lần lượt tại E, F , K. chứng minh rằng:
a) AE2= EF.EK
b)\(\dfrac{1}{AE}\)=\(\dfrac{1}{AF}\)+\(\dfrac{1}{AK}\)
c) BF . DK = BC. CD
ai on giúp tui cái nhá
Một đường thẳng d đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD và cắt BC , BD , DC theo thứ tự ở K , E , G
a) \(Cm:AE^2=EK.EG\)
b) \(\dfrac{1}{AE}=\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}\)
C)CM : Khi đường thẳng d thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK . DG có giá trị không đổi.
GIÚP MK VS NHA
MK ĐG CẦN GẤP _ CẢM ƠN NHIỀU
a) Vì ABCD là hình bình hành
\(\rightarrow\)AB // CD hay AB // DG; AD // BC hay AD // BK.
Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BEK\) có AD // BK
\(\rightarrow\dfrac{AE}{EK}=\dfrac{DE}{BE}=\dfrac{AD}{BK}\) (hệ quả định lý Talét) (1)
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta DEG\) có AB // DG
\(\rightarrow\dfrac{EG}{AE}=\dfrac{DE}{BE}=\dfrac{DG}{AB}\) (hệ quả định lý Talét) (2)
Từ (1) và (2) \(\rightarrow\dfrac{AE}{EK}=\dfrac{EG}{AE}\rightarrow AE^2=EK.EG\) (đpcm)
b) Từ (1) \(\rightarrow\dfrac{AE}{AK}=\dfrac{DE}{BD}\) (hệ quả định lý Talét) (3)
Cũng lại có AB // DG
\(\rightarrow\dfrac{AE}{AG}=\dfrac{BE}{BD}\) (hệ quả định lý Talét) (4)
Từ (3) và (4) \(\rightarrow\dfrac{AE}{AK}+\dfrac{AE}{AG}=\dfrac{DE}{BD}+\dfrac{BE}{BD}\)
hay \(AE\left(\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}\right)=\dfrac{BD}{BD}=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{AE}=\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}\) (đpcm)
c) Từ (1) và (2) \(\rightarrow\dfrac{AD}{BK}=\dfrac{DG}{AB}\)
hay \(AD.AB=BK.DG\)
Vì hình bình hành ABCD không đổi nên AD, AB không đổi
Suy ra tích AD.AB không đổi
\(\Rightarrow\) Tích BK.DG không đổi khi đường thẳng d thay đổi vị trí khi vẫn đi qua A (đpcm)
\(\rightarrow\dfrac{EG}{AE}=\dfrac{DE}{BE}=\dfrac{DG}{AB}\)
Bài 1:
Một đường thẳng đi qua A của hình bình hành ABCD cắt BD;BC;DC theo thứ tự là E;K;G
CM
a) AE2=EK.EG