m = 9

n = 8

Ta có: \(2^m-2^n=256\)

\(\Leftrightarrow2^n\left(2^{m-n}-1\right)=256\)(1)

Ta có: \(2^m-2^n=256\)

\(\Leftrightarrow2^m>2^n\)

\(\Leftrightarrow m>n\)

(1) suy ra \(2^{m-n}-1\) là số lẻ

\(\Leftrightarrow2^{m-n}-1=1\)

\(\Leftrightarrow m-n=1\)

\(\Leftrightarrow2^n=256\)

hay n=8

hay m=1+n=1+8=9

Vậy: (m,n)=(9;8)

Bạn Nguyễn Lê Phước Thịnh ơi? Nhưng mik vẫn ko hiểu tại sao \(2^{m-n}-1\)là số lẻ và m>n lại suy ra được \(2^{m-n}-1=1\)?

tại sao từ 2^m - 2^n lại tách ra thành 2^n.(2^m-n-1) được vậy

^m-2^n=2^8 
Chia cả 2 vế cho 2 mũ 8. 
2^(m-8)- 2^(n-8)=1 
+giả sử m<=8, ta có VT<=1-2^(n-8)<1 
Suy ra m>8. Suy ra 2^(m-8) thuộc tập số tự nhiên và chia hết cho 2 
+giả sử n<8, ta có 2^(n-8) kô thuộc tập số tự nhiên. Suy ra VT kô thuộc tập số tự nhiên.Suy ra VT<>1 
do đó n>=8 
Với n>8,m>8 suy ra VT chia hết cho 2. suy ra VT<=>1 
Với n=8, VT=2^(m-8)-1=1. tương đương với m=9. 
Vậy m=9, n=8

2^m - 2ⁿ = 256

=> 2ⁿ.(2^m-n - 1) = 256

Vì 2^m-n - 1 chia 2 dư 1; 256 = 2⁸ => 2ⁿ = 2⁸ và 2^m-n - 1 = 1

=> n = 8; 2^m-n = 2¹

=> m - n = 1 => m = 1 + 8 = 9

Vậy m = 9; n = 8

2^m - 2ⁿ = 256

=> 2ⁿ.(2^m-n - 1) = 256

Vì 2^m-n - 1 chia 2 dư 1; 256 = 2⁸ => 2ⁿ = 2⁸ và 2^m-n - 1 = 1

=> n = 8; 2^m-n = 2¹

=> m - n = 1 => m = 1 + 8 = 9

Vậy m = 9; n = 8

m = 9 ; n= 8

 Ta có 2m - 2n > 0 => 2m > 2n => m > n
Nên (1) ( 2n(2m-n – 1) = 28
Vì m-n > 0 => 2m-n– 1 lẽ => 2m-n-1 =1 => 2m-n= 21
=> m - n =1 => m = n +1 => n = 8, m = 9

2^m-2ⁿ > 0 => 2^m>2ⁿ => m>n

2^m-2ⁿ=256

2ⁿ(2^m-n-1) = 2⁸

* Nếu m-n =1 thì

2ⁿ(2^m-n-1)=2⁸

2ⁿ(2-1)     =2⁸

2ⁿ = 2⁸

=> n=8

m-n = 1

m-8 = 1

m = 8+1

m=9

* Nếu m-n lớn hơn hoặc bằng 2 thì :

2^m-n-1 là số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái là thừa số nguyên tố lẻ mà vế phải (2⁸) là thừa số nguyên tố lẻ nên mâu thuẫn

Vậy m=9 ; n=8

\(2^9-2^8=256\)\(\Rightarrow m=9;n=8\)

Ta có : 2^m - 2ⁿ = 256 

Đặt m = n + k (Vì 2^m > 2ⁿ) (k > 0 ; k \(\inℕ\))

Khi đó 2ⁿ.2^k - 2ⁿ = 256

=> 2ⁿ(2^k - 1) = 256

Vì k> 0 => 2^k > 0 => 2^k - 1 > 0 <=> k > 1

Mà 2^k chẵn với k > 0

=> 2^k - 1 lẻ với k > 1 (1)

Vì 2ⁿ(2^k - 1) chẵn => 2^k - 1 chẵn hoặc 2^k - 1 = 1

mà xét vớ (1) ta chỉ nhận được 2^k - 1 = 1

=> k = 1

=> n = 9

=> m = 10

Vậy n = 9 ; m = 10

\(2^m-2^n=256=2^8\)---> Chia 2 vế cho 2ⁿ

\(\Leftrightarrow2^{m-n}-1=2^{8-n}\)

\(\Leftrightarrow2^{m-n}-2^{8-n}=1\)

\(\Leftrightarrow2^{8-n}\left(2^{m-8}-1\right)=1\)---> Vì các lũy thừa với số mũ tự nhiên của 2 không thể bé hơn 1 nên pt chỉ có nghiệm khi:

\(\hept{\begin{cases}2^{8-n}=1\\2^{m-8}-1=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2^{8-n}=2^0\\2^{m-8}=2^1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}8-n=0\\m-8=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}n=8\\m=9\end{cases}}}\)

\(2^m-2^n=256\)  (1)

Từ phương trình, dễ thấy \(m>n\Rightarrow m-n>0\Rightarrow m-n\ge1\)(vì m; n nguyên nên m-n nguyên)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2^n\left(2^{m-n}-1\right)=256\)

Bây giờ, nếu \(m-n>1\)thì \(2^{m-n}-1\)là số lẻ nên vế trái chỉ chia hết cho 2 còn vế phải chia hết cho 4. Do đó ta loại trường hợp này

Từ đó, \(m-n=1\Rightarrow2^n=256\Rightarrow n=8\Rightarrow m=9\)

Vậy ...

\(2^m-2^n=256=2^8=>2^n\left(2^{m-n}-1\right)=2^8\left(1\right)\)

vì m khác n ,nên ta có:

+)nếu m-n=1 thì từ (1) ta có 2^n(2-1)=2^8

=>n=8;m=9

+)nếu m-n>2 thì 2^m-n -1 là 1 số lẻ lớn hơn 1 ,do đó vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tích ra thừa số nguyên tố,còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2.Mâu thuẫn

Vậy n=8;m=9 là đáp số duy nhất