a: Xét (O) có

OH là một phần đường kính

AB là dây

OH\(\perp\)AB

Do đó: H là trung điểm của AB

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MA^2=MH\cdot MO\)

b: Xét ΔMAB có 

MH là đường cao

MH là đường trung tuyến

Do đó: ΔMAB cân tại M

Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

CB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại A

Xét tứ giác HAEM có 

\(\widehat{HAE}=\widehat{AHM}=\widehat{HME}=90^0\)

Do đó: HAEM là hình chữ nhật

Suy ra: HA=EM và HA//EM

=>HB=EM và HB//EM

=>HBME là hình bình hành

Suy ra: EB đi qua trung điểm của MH

Sửa đề: DO cắt AC tại E

a) Xét (O) có 

DA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

DC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)

Do đó: DA=DC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: DA=DC(Cmt)

nên D nằm trên đường trung trực của AC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: OA=OC(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của AC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra DO là đường trung trực của AC

\(\Leftrightarrow DO\perp AC\)

mà DO cắt AC tại E(gt)

nên \(DO\perp AC\) tại E

Xét tứ giác CEOH có 

\(\widehat{CEO}\) và \(\widehat{CHO}\) là hai góc đối

\(\widehat{CEO}+\widehat{CHO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: CEOH là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

a) Xét ΔOAB có OA=OB(=R)

nên ΔOAB cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)

Ta có: ΔOAB cân tại O(cmt)

mà OC là đường cao ứng với cạnh đáy AB(OH⊥AB, C∈OH)

nên OC là đường phân giác ứng với cạnh AB(Định lí tam giác cân)

⇒\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)

Xét ΔAOC và ΔBOC có

OA=OB(=R)

\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)(cmt)

OC chung

Do đó: ΔAOC=ΔBOC(c-g-c)

⇒\(\widehat{OAC}=\widehat{OBC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{OAC}=90^0\)(CA là tiếp tuyến của (O) có A là tiếp điểm)

nên \(\widehat{OBC}=90^0\)

hay CB⊥OB tại B

Xét (O) có 

OB là bán kính

CB⊥OB tại B(cmt)

Do đó: CB là tiếp tuyến của (O)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)

b) Xét (O) có 

OH là một phần đường kính

AB là dây

OH⊥AB tại H(gt)

Do đó: H là trung điểm của AB(Định lí đường kính vuông góc với dây)

⇒\(BH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{24}{2}=12cm\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔOBC vuông tại B có BH là đường cao ứng với cạnh huyền OC, ta được:

\(\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{BO^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{12^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{20^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{BC^2}=\dfrac{1}{12^2}-\dfrac{1}{20^2}=\dfrac{1}{144}-\dfrac{1}{400}=\dfrac{1}{225}\)

\(\Leftrightarrow BC^2=225\)

hay BC=15(cm)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔOBC vuông tại B, ta được:

\(OC^2=OB^2+BC^2\)

\(\Leftrightarrow OC^2=15^2+20^2=625\)

hay OC=25(cm)

Vậy: OC=25cm

a: Sửa đề: cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở C

ΔOAB cân tại O

mà OC là đường cao

nên OC là phân giác của góc AOB

Xét ΔOAC và ΔOBC có

OA=OB

\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)

OC chung

Do đó: ΔOAC=ΔOBC

=>\(\widehat{OAC}=\widehat{OBC}=90^0\)

=>CB là tiếp tuyến của (O)

b:ΔOAC=ΔOBC

=>CB=CA

=>C nằm trên đường trung trực của AB(1)

OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của BA

=>OC\(\perp\)AB

mà OC//AD

nên AB\(\perp\)AD

=>ΔABD vuông tại A

Ta có: ΔABD vuông tại A

=>ΔABD nội tiếp đường tròn đường kính DB

mà ΔABD nội tiếp (O)

nên O là trung điểm của DB

=>D,O,B thẳng hàng

Xét ΔAKD vuông tại K và ΔCAO vuông tại A có

\(\widehat{ADK}=\widehat{COA}\)(hai góc so le trong, AD//CO)

Do đó: ΔAKD\(\sim\)ΔCAO

Vậy HA là tiếp tuyến của đường tròn (O)

a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>CA⊥CB

mà CA⊥OH

nên OH//BC

b: Xét (O) có

OH là một phần đường kính

AC là dây

OH⊥AC tại H

Do đó: H là trung điểm của AC

Xét ΔMAC có 

MH là đường trung tuyến

MH là đường cao

Do đó: ΔMAC cân tại M

Xét ΔOAM và ΔOCM có

OA=OC

MA=MC

OM chung

Do đó:ΔOAM=ΔOCM

Suy ra: \(\widehat{OAM}=\widehat{OCM}=90^0\)

hay MA là tiếp tuyến của (O)