Δ=(2m)^2-4(m^2+2m+3)

=4m^2-4m^2-8m-12=-8m-12

Để PT có 2 nghiệm pb thì -8m-12>0

=>-8m>12

=>m<-3/2

x1^3+x2^3=108

=>(x1+x2)^3-3x1x2(x1+x2)=108

=>(-2m)^3-3(m^2+2m+3)*(-2m)=108

=>-8m^3+6m(m^2+2m+3)=108

=>-8m^3+6m^3+12m^2+18m-108=0

=>-2m^3+12m^2+18m-108=0

=>-2m^2(m-6)+18(m-6)=0

=>(m-6)(-2m^2+18)=0

=>m=-3

1) Với m= 2 PT trở thành  x 2 − 4 x + 3 = 0  

Giải phương trình tìm được các nghiệm  x = 1 ;   x = 3.  

2) Ta có  Δ ' = m 2 − m 2 + 1 = 1 > 0 , ∀ m .  

Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Từ giả thiết ta có x i 2 − 2 m x i + m 2 − 1 = 0 , i = 1 ; 2. x i 3 − 2 m x i 2 + m 2 x i − 2 = x i x i 2 − 2 m x i + m 2 − 1 + x i − 2 = x i − 2 , i = 1 ; 2.  

Áp dụng định lí Viét cho phương trình (1) ta có  x 1 + x 2 = 2 m ; x 1 . x 2 = m 2 − 1  

Ta có

  x 1 − 2 + x 2 − 2 = 2 m − 4 ; x 1 − 2 x 2 − 2 = x 1 x 2 − 2 x 1 + x 2 + 4 = m 2 − 1 − 4 m + 4 = m 2 − 4 m + 3

Vậy phương trình bậc hai nhận  x 1 3 − 2 m x 1 2 + m 2 x 1 − 2 ,   x 2 3 − 2 m x 2 2 + m 2 x 2 − 2  là nghiệm là x 2 − 2 m − 4 x + m 2 − 4 m + 3 = 0.

Để pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow4-4\left(m-1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow2\ge m\)

Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(1\right)\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\) 

\(x_1^4-x_1^3=x_2^4-x_2^3\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1^4-x_2^4\right)-\left(x_1^3-x_2^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2\right)-\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[2\left(x_1^2+x_2^2\right)-x_1^2-x_1x_2-x_2^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2-x_1x_2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x_1-x_2=0\) (2) ( vì \(x_1^2-x_1x_2+x_2^2>0;\forall x,y\))

Từ (1) (2) \(\Rightarrow x_1=x_2=1\)

\(\Rightarrow x_1x_2=m-1=1\) \(\Leftrightarrow m=2\) (Thỏa)

Vậy...

a: Khi m=-8 thì (1) sẽ là x^2+6x=0

=>x=0; x=-6

Δ=(-2)^2-4(m-1)

=-4m+4+4

=-4m+8

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì -4m+8>0

=>-4m>-8

=>m<2

x1^2+x2^2-3x1x2=2m^2+|m-3|

=>2m^2+|m-3|=(x1+x2)^2-5x1x2=2^2-5(m-1)=4-5m+5=-5m+9

TH1: m>=3

=>2m^2+m-3+5m-9=0

=>2m^2+6m-12=0

=>m^2+3m-6=0

=>\(m\in\varnothing\)

TH2: m<3

=>2m^2+3-m+5m-9=0

=>2m^2+4m-6=0

=>m^2+2m-3=0

=>(m+3)(m-1)=0

=>m=1 hoặc m=-3

Phương trình x² – 2(m + 1)x + 2m = 0 có a = 1 ≠ 0 và

∆ ' = ( m + 1 ) 2 – 2 m = m 2 + 1 > 0 ;  m nên phương trình luôn có hai nghiệm x 1 ;   x 2

Theo hệ thức Vi-ét ta có  x 1 + x 2 = 2 m + 1 x 1 . x 2 = 2 m

Xét x 1 3 + x 2 3 = 8   ( x ₁ + x ₂ ) 3   −   3 x 1 . x 2 ( x 1 + x 2 ) = 8

⇔ [ 2 ( m   +   1 ) ] 3   –   3 . 2 m . [ 2 ( m   +   1 ) ]   =   8

  8   ( m 3 + 3 m 2 + 3 m + 1 ) – 6 m ( 2 m + 2 ) = 8 ⇔ 8 m 3 + 12 m 2 + 12 m = 0

⇔ m   ( 2 m 2   + 3 m + 3 ) = 0

⇔ m = 0 2 m 2 + 3 m + 3 = 0

Phương trình 2 m 2 + 3 m + 3 = 0   c ó   ∆ 1 = 3 2 – 4 . 2 . 3 = − 15 < 0 nên phương trình này vô nghiệm

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

Đáp án: C

b: Δ=(-2m)^2-4(m^2-2m+2)

=4m^2-4m^2+8m-8=8m-8

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì 8m-8>0

=>m>1

x1^2+x2^2=x1+x2+8

=>(x1+x2)^2-2x1x2-(x1+x2)=8

=>(2m)^2-2(m^2-2m+2)-2m=8

=>4m^2-2m^2+4m-4-2m=8

=>2m^2+2m-12=0

=>m^2+m-6=0

=>(m+3)(m-2)=0

mà m>1

nên m=2

Là sao em? Phải có yêu cầu cụ thể gì chứ?

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm thì:

$\Delta'=9-(6m-m^2)\geq 0\Leftrightarrow m^2-6m+9\geq 0$

$\Leftrightarrow (m-3)^2\geq 0\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$.

Với $x_1,x_2$ là nghiệm của pt. Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-6\\ x_1x_2=6m-m^2\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(x_1^3-x_2^3+2x_1^2+12x_1+72=0\)

\(\Leftrightarrow x_1^3-(-6-x_1)^3+2x_1^2+12x_1+72=0\)

\(\Leftrightarrow x_1^3+10x_1^2+60x_1+144=0\)

\(\Leftrightarrow (x_1+4)(x_1^2+6x_1+36)=0\)

\(\Leftrightarrow x_1=-4\) (dễ thấy \(x_1^2+6x_1+36>0\) )

\(\Leftrightarrow x_2=-6-x_1=-2\)

\(\Rightarrow 6m-m^2=x_1x_2=8\)

\(\Leftrightarrow m^2-6m+8=0\Leftrightarrow (m-4)(m-2)=0\)

\(\Leftrightarrow m=4; m=2\) (đều thỏa mãn)