Cho phương trình x 2 − 2 m x + m 2 − 1 = 0 1 , với m là tham số.
1) Giải phương trình (1) khi m= 2
2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình (1) lập phương trình bậc hai nhận x 1 3 − 2 m x 1 2 + m 2 x 1 − 2 và x 2 3 − 2 m x 2 2 + m 2 x 2 − 2 là nghiệm.
1) Với m= 2 PT trở thành x 2 − 4 x + 3 = 0
Giải phương trình tìm được các nghiệm x = 1 ; x = 3.
2) Ta có Δ ' = m 2 − m 2 + 1 = 1 > 0 , ∀ m .
Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Từ giả thiết ta có x i 2 − 2 m x i + m 2 − 1 = 0 , i = 1 ; 2. x i 3 − 2 m x i 2 + m 2 x i − 2 = x i x i 2 − 2 m x i + m 2 − 1 + x i − 2 = x i − 2 , i = 1 ; 2.
Áp dụng định lí Viét cho phương trình (1) ta có x 1 + x 2 = 2 m ; x 1 . x 2 = m 2 − 1
Ta có
x 1 − 2 + x 2 − 2 = 2 m − 4 ; x 1 − 2 x 2 − 2 = x 1 x 2 − 2 x 1 + x 2 + 4 = m 2 − 1 − 4 m + 4 = m 2 − 4 m + 3
Vậy phương trình bậc hai nhận x 1 3 − 2 m x 1 2 + m 2 x 1 − 2 , x 2 3 − 2 m x 2 2 + m 2 x 2 − 2 là nghiệm là x 2 − 2 m − 4 x + m 2 − 4 m + 3 = 0.
