c. -Xét △ADC có: OM//DC (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{MO}{DC}=\dfrac{AO}{AC}\) (định lí Ta-let).

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{MO}=\dfrac{AC}{AO}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{OM}-1=\dfrac{OC}{AO}\) (1).

-Xét △BDC có: ON//DC (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{ON}{DC}=\dfrac{BO}{BD}\) (định lí Ta-let).

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{ON}=\dfrac{BD}{BO}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{ON}-1=\dfrac{OD}{BO}\)

-Xét △ABO có: AB//DC (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{OD}{BO}=\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{DC}{AB}\) (3)

-Từ (1), (2),(3) suy ra:

\(\dfrac{DC}{OM}-1=\dfrac{DC}{ON}-1=\dfrac{DC}{AB}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{OM}=\dfrac{DC}{ON}=\dfrac{DC}{AB}+1=\dfrac{AB+DC}{AB}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{OM}=\dfrac{1}{ON}=\dfrac{AB+DC}{AB.DC}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}\)

a: Xét ΔAOB và ΔCOD có 

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)

Do đó: ΔAOB∼ΔCOD

Suy ra: \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{AB}{CD}\)

hay \(OA\cdot OD=OB\cdot OC\)

b: \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{AB}{CD}\)

\(\Leftrightarrow OA=\dfrac{1}{2}\cdot6=3\left(cm\right)\)

Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)

Do đó: ΔOAB đồng dạng với ΔOCD

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\)

\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(OC=1,5OA\)

\(\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(OD=3\cdot\dfrac{OB}{2}=1,5OB\)

AO+OC=AC

=>1,5OA+OA=OC

=>OC=2,5OA

=>\(\dfrac{OC}{OA}=2,5=\dfrac{5}{2}\)

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{2}{5}\)

OB+OD=BD

=>BD=1,5OB+OB=2,5OB

=>\(\dfrac{OB}{BD}=\dfrac{2}{5}\)

Xét ΔADC có MO//DC

nên \(\dfrac{MO}{DC}=\dfrac{AO}{AC}\)

=>\(\dfrac{MO}{9}=\dfrac{2}{5}=0,4\)

=>MO=0,4*9=3,6(cm)

Xét ΔBDC có ON//DC

nên \(\dfrac{ON}{DC}=\dfrac{BO}{BD}\)

=>\(\dfrac{ON}{9}=\dfrac{2}{5}\)

=>ON=0,4*9=3,6(cm)

MN=MO+ON

=3,6+3,6

=7,2(cm)

Chọn C

Đề bài yêu cầu gì?

Sửa đề: Đường thẳng qua O song song với AB

Xét ΔAOB và ΔCOD có 

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{BAO}=\widehat{DCO}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

Do đó: ΔAOB\(\sim\)ΔCOD(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Leftrightarrow\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{OC}{OD}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{OC}{OD}=\dfrac{OA+OC}{OB+OD}=\dfrac{AC}{BD}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{OC}{OD}=\dfrac{AC}{BD}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{CO}{CA}=\dfrac{DO}{DB}\)(1)

Xét ΔDAB có 

M∈AD(gt)

O∈BD(gt)

MO//AB(gt)

Do đó:\(\dfrac{DO}{DB}=\dfrac{MO}{AB}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(2)

Xét ΔABC có 

O∈AC(gt)

N∈BC(gt)

ON//AB(gt)

Do đó: \(\dfrac{CO}{CA}=\dfrac{ON}{AB}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{OM}{AB}=\dfrac{ON}{AB}\)

hay OM=ON(đpcm)

\(\Leftrightarrow OM+ON=MN=2\cdot ON\)
Xét ΔBCD có 

O∈BD(gt)

N∈BC(gt)

ON//DC(gt)

Do đó: \(\dfrac{ON}{CD}=\dfrac{BN}{BC}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(4)

Xét ΔABC có 

O∈AC(gt)

N∈BC(gt)

ON//DC(gt)

Do đó: \(\dfrac{ON}{AB}=\dfrac{CN}{CB}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ON}{AB}+\dfrac{ON}{CD}=\dfrac{BN}{BC}+\dfrac{CN}{BC}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{1}{ON}=\dfrac{2}{2\cdot ON}=\dfrac{2}{MN}\)(đpcm)

Xét ΔADC có OM//DC

nên \(\dfrac{OM}{DC}=\dfrac{AM}{AD}\left(1\right)\)

Xét ΔBDC có ON//DC

nên \(\dfrac{ON}{DC}=\dfrac{BN}{BC}\left(2\right)\)

Xét hình thang ABCD có MN//AB//CD

nên \(\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{BN}{NC}\)

=>\(\dfrac{MD}{MA}=\dfrac{CN}{BN}\)

=>\(\dfrac{MD+MA}{MA}=\dfrac{CN+BN}{BN}\)

=>\(\dfrac{AD}{AM}=\dfrac{BC}{BN}\)

=>\(\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{BN}{BC}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra OM=ON