a, Ta có: \(\widehat{MAN}=\widehat{DBC}=45^0\Rightarrow AQMB\) nội tiếp. \(\left(1\right)\)

b,  Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\widehat{MQA}+\widehat{MBA}=180^0\Rightarrow\widehat{AQM}=90^0\left(\widehat{ABC}=90^0\right)\)

\(\Rightarrow MQ\perp AN\)

Tương tự như trên ta có: \(NP\perp AM\Rightarrow H\) là trực tâm của \(\Delta AMN\)

\(\Rightarrow AH\perp MN\left(đpcm\right)\)

c, Gọi \(AH\)\(∩\) \(MN=E\)

Gọi \(AF\perp AM,F\in CD\Rightarrow\widehat{FAD}=\widehat{BAM}\left(+\widehat{MAD}=90^0\right)\)

Lại có: \(\widehat{ADF}=\widehat{ABM}=90^0,AD=AB\Rightarrow\Delta ADF=\Delta ABM\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow AF=AM\)

Lại có: \(\widehat{NAF}=\widehat{MAN}=45^0\Rightarrow\Delta FAN=\Delta MAN\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow MN=FN\Rightarrow MN+NC+CM=NF+NC+CM=DN+CN+DF+CM\)

\(=\left(DN+CN\right)+\left(BM+CM\right)=CD+CB=2AD\)

Lại có tiếp: \(\hept{\begin{cases}AE\perp MN\\AD\perp NF\end{cases}}\Rightarrow AE=AD\)

\(\Rightarrow S_{ANM}=\frac{1}{2}.AE.MN=\frac{1}{2}.AD.MN\)

Lại có tiếp: \(MN\le MC+NC\)

\(\Rightarrow2MN\le MN+MC+NC=2AD\)

\(\Rightarrow MN\le AD\)

\(\Rightarrow S_{ANM}=\frac{1}{2}.AD.MN\le\frac{1}{2}AD^2\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}M\equiv B\\M\equiv C\end{cases}}\)

(Rối thực sự -.- )

thực sự đấy, rối lắm

Theo cách dựng ta có CE vừa là đường cao, vừa là phân giác trong tam giác CDK

\(\Rightarrow\Delta CDK\) cân tại C

\(\Rightarrow DC=CK\)

Tương tự ta có: \(BM=DB\)

Mặt khác theo định lý phân giác: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{DB}{DC}\Rightarrow AB.DC=AC.DB\)

\(\Rightarrow AB.DC-AC.DB=0\)

Dễ dàng chứng minh bài toán quen thuộc: \(AD^2=AB.AC-BD.DC\) 

\(\Rightarrow AD^2=\left(AM-DB\right)\left(AK+DC\right)-DB.DC\)

\(=AM.AK+AM.DC-DB.AK-DB.DC-DB.DC\)

\(=AM.AK+DC\left(AM-DB\right)-DB\left(AK+DC\right)\)

\(=AM.AK+DC.AB-DB.AC\)

\(=AM.AK\)

\(\Rightarrow AK=\dfrac{AD^2}{AM}=4\)

vẽ hình ra đi mk làm cho. Đang lười

Bạn kẻ đường thẳng vuông góc với MN qua A cắt MN tại I và chứng minh AI = AB. Khi đó MN sẽ tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB

ai làm giúp mik đi mà!!!

Xét 2 tam giác vuông HNB và HNP có :

HB =HP(gt)

HN chung 

Suy ra: \(\Delta HNB=\Delta HNP\left(canhgocvuong-canhgocvuong\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{PNA}=\widehat{BNA}\)

Xét 2 tam giác vuông AHP và AHB có

HB =HP(gt)

HA chung

Suy ra: \(\Delta HAB=\Delta HAP\left(canhgocvuong-canhgocvuong\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{PAN}=\widehat{BAN}\)

Xét \(\Delta ANP\)và \(\Delta ANB\)có

AN chung

\(\widehat{PAN}=\widehat{BAN}\)

\(\widehat{PNA}=\widehat{BNA}\)

Suy ra: \(\Delta ANP\)= \(\Delta ANB\)(g.c.g)

\(\Rightarrow\widehat{APN}=\widehat{ABN}=90^0\)

Ta có : \(\widehat{BAD}=\widehat{NAD}+\widehat{BAN}\Rightarrow\widehat{BAN}=\widehat{BAD}-\widehat{NAD}=90^0-65^0=25^0\)

\(\Rightarrow\widehat{NAP}=\widehat{BAN}=25^0\Rightarrow\widehat{BAP}=25^0+25^0=50^0\)

\(\Rightarrow\widehat{MAP}=\widehat{BAD}-\widehat{MAD}-\widehat{BAP}=90^0-50^0-20^0=20^0\Rightarrow\widehat{MAP}=\widehat{MAD}\)

Vì AB=AD,AB=AP

\(\Rightarrow\)AP =AD

Xét \(\Delta MAD\)và \(\Delta MAP\)có

\(\widehat{MAP}=\widehat{MAD}\)

AM chung

AD = AB

Suy ra \(\Delta MAD\)=\(\Delta MAP\)(c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{AMD}=\widehat{APM}=90^0\Rightarrow\widehat{APN}+\widehat{APM}=180^0\Rightarrowđpcm\)

góc AQP=góc AMN(=180 độ-góc PQN)

=>ΔAPQ đồng dạng với ΔANM

=>S APQ/S AMN=(AQ/AM)^2

ΔAQM vuông cân tại Q

=>AQ^2+QM^2=AM^2

=>AQ=AM/căn 2

=>S AMN=2*S APQ