\(x^6+\left(y^6+15y^4+75y^2+125\right)+z^3-3x^2y^2z-15x^2z=0\)

\(\Leftrightarrow x^6+\left(y^2+5\right)^3+z^3=3x^2\left(y^2+5\right)z\)

Ta có:

\(x^6+\left(y^2+5\right)^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^6\left(y^2+5\right)^3z^3}=3x^2\left(y^2+5\right)z\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(x^2=y^2+5=z\)

Từ \(x^2=y^2+5\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=5\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(3;2\right)\Rightarrow z=9\)

Vậy có đúng 1 bộ số nguyên dương thỏa mãn pt:

\(\left(x;y;z\right)=\left(3;2;9\right)\)

A=x^3 +y^3 +z^3+ 2(x/y+z  +y/z+x  +z/x+y)  \(\ge x^3+y^3+z^3+2.\frac{3}{2}\)  (bạn vào tìm BĐT nesbit là sẽ cm cái đằng sau >= 3/2)

Áp dụng cô si \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz=3\)

===> A\(\ge3+3=6\) khi x=y=z=1

Vì  \(x+y+z=2\)

Ta có  \(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x^2+xy\right)+\left(xz+yz\right)}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

\(\le\frac{x+y+x+z}{2}=\frac{2x+y+z}{2}\)

Tương tự  \(\sqrt{2y+zx}\le\frac{x+2y+z}{2}\)  và  \(\sqrt{2z+xy}\le\frac{x+y+2z}{2}\)

Do đó  \(P\le\frac{2x+y+z}{2}+\frac{x+2y+z}{2}+\frac{x+y+2z}{2}=\frac{4\left(x+y+z\right)}{2}=\frac{4.2}{2}=4\)

Vậy  \(P\le4\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x+y=x+z\\y+x=y+z\\z+x=z+y\end{cases}}\)  và x+y+z=2   \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=z=\frac{2}{3}\)

$(x;y;z)=\{(6;9;12);(8;12;16)\}$

Giải thích các bước giải:

2z−4x3=3x−2y4=4y−3z2⇒3(2z−4x)9=4(3x−2y)16=2(4y−3z)4=6z−12x+12x−8y+8y−6z9+16+4=02z−4x3=3x−2y4=4y−3z2⇒3(2z−4x)9=4(3x−2y)16=2(4y−3z)4=6z−12x+12x−8y+8y−6z9+16+4=0

⇒⎧⎪⎨⎪⎩2z−4x=03x−2y=04y−3z=0⇒y=34z⇒{2z−4x=03x−2y=04y−3z=0⇒y=34z

mà $200<y^2+z^2<450$

⇒200<(34z)2+z2<450⇔200<2516z2<450⇔128<z2<288⇒200<(34z)2+z2<450⇔200<2516z2<450⇔128<z2<288

Vì z là số nguyên dương $\Rightarrow \sqrt{128}<z<\sqrt{288}$

$\Rightarrow z\in \{12;13;14;15;16\}$

mà y là số nguyên dương và $y=\frac{3}{4}z$

$\Rightarrow z\in \{12;16\}$

Thế vào $y=\frac{3}{4}z$ và $2z-4x=0$

+) Với $z=12\Rightarrow y=\frac{3}{4}.12=6$

                    $2.12-4x=0\Rightarrow x=6$

Với $z=16\Rightarrow y=\frac{3}{4}.16=12$

    $2.16-4x=0\Rightarrow x=8$

Vậy ta có các cặp nghiệm là: $(x;y;z)=\{(6;9;12);(8;12;16)\}$

$(x;y;z)=\{(6;9;12);(8;12;16)\}$

Giải thích các bước giải:

2z−4x3=3x−2y4=4y−3z2⇒3(2z−4x)9=4(3x−2y)16=2(4y−3z)4=6z−12x+12x−8y+8y−6z9+16+4=02z−4x3=3x−2y4=4y−3z2⇒3(2z−4x)9=4(3x−2y)16=2(4y−3z)4=6z−12x+12x−8y+8y−6z9+16+4=0

⇒⎧⎪⎨⎪⎩2z−4x=03x−2y=04y−3z=0⇒y=34z⇒{2z−4x=03x−2y=04y−3z=0⇒y=34z

mà $200<y^2+z^2<450$

⇒200<(34z)2+z2<450⇔200<2516z2<450⇔128<z2<288⇒200<(34z)2+z2<450⇔200<2516z2<450⇔128<z2<288

Vì z là số nguyên dương $\Rightarrow \sqrt{128}<z<\sqrt{288}$

$\Rightarrow z\in \{12;13;14;15;16\}$

mà y là số nguyên dương và $y=\frac{3}{4}z$

$\Rightarrow z\in \{12;16\}$

Thế vào $y=\frac{3}{4}z$ và $2z-4x=0$

+) Với $z=12\Rightarrow y=\frac{3}{4}.12=6$

                    $2.12-4x=0\Rightarrow x=6$

Với $z=16\Rightarrow y=\frac{3}{4}.16=12$

    $2.16-4x=0\Rightarrow x=8$

Vậy ta có các cặp nghiệm là: $(x;y;z)=\{(6;9;12);(8;12;16)\}$

$(x;y;z)=\{(6;9;12);(8;12;16)\}$

Giải thích các bước giải:

⇒⎧⎪⎨⎪⎩2z−4x=03x−2y=04y−3z=0⇒y=34z⇒{2z−4x=03x−2y=04y−3z=0⇒y=34z

mà $200<y^2+z^2<450$

⇒200<(34z)2+z2<450⇔200<2516z2<450⇔128<z2<288⇒200<(34z)2+z2<450⇔200<2516z2<450⇔128<z2<288

Vì z là số nguyên dương $\Rightarrow \sqrt{128}<z<\sqrt{288}$

$\Rightarrow z\in \{12;13;14;15;16\}$

mà y là số nguyên dương và $y=\frac{3}{4}z$

$\Rightarrow z\in \{12;16\}$

Thế vào $y=\frac{3}{4}z$ và $2z-4x=0$

+) Với $z=12\Rightarrow y=\frac{3}{4}.12=6$

                    $2.12-4x=0\Rightarrow x=6$

Với $z=16\Rightarrow y=\frac{3}{4}.16=12$

    $2.16-4x=0\Rightarrow x=8$

Vậy ta có các cặp nghiệm là:

$(x;y;z)=\{(6;9;12);(8;12;16)\}$

Áp dụng BĐT BSC:

\(F=\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)

\(\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}\right)\)

\(=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{4}{z}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{1}{4}.4=1\)

\(maxF=1\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{4}\)