Chứng minh rằng nếu \(\frac{3x+5y}{x+y}\)là một số nguyên thì \(\frac{5x+3y}{x+y}\)cũng là một số nguyên.
Chứng minh rằng :
a) Tổng của một số phân số dương với số nghịch đảo của nó thì lớn hơn hoặc bằng 2
b) Áp dụng để chứng tỏ rằng nếu x , y là các số nguyên cùng dương hoặc cùng âm thì \(p=\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\ge6\)
\(a.\)Ta có:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
\(AM-GM:\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\left(đpcm\right)\)
\(b.\)Nếu x,y dương thì Áp dụng BĐT Cô-si ta có:\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\ge2\sqrt{\frac{3x}{y}.\frac{3y}{x}}=6\)hay\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\ge6\left(đpcm\right)\)
Nếu x,y âm ta có:\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}=\frac{3x^2}{xy}+\frac{3y^2}{xy}\ge2\sqrt{\frac{3x^2}{xy}.\frac{3y^2}{xy}}=6\left(đpcm\right)\)
Chứng minh rằng : A = ( 3x + 5y +1 )( x - 3y + 6 ) là một số chẵn nếu x,y là các số nguyên.
Mọi người giúp mk nha ! Cảm ơn mọi người nhiều !
Ta có: \(\left(2x+3y\right)^2< \left(2x+3y\right)^2+5x+5y+1< \left(2x+3y+2\right)^2\).
Do đó để \(\left(2x+3y\right)^2+5x+5y+1\) là số chính phương thì \(\left(2x+3y\right)^2+5x+5y+1=\left(2x+3y+1\right)^2\Leftrightarrow x=y\).
Vậy x = y
1. a) Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2;
b) Áp dụng để chứng tỏ rằng nếu x, y, z là các số nguyên cùng dương hoặc cùng âm, thì:
P =\(\frac{3x}{y}\)+ \(\frac{3y}{x}\) > hoặc = 6
Q = \(\frac{3x}{y}\)+\(\frac{3y}{x}\)+ \(\frac{3x}{z}\)+\(\frac{3z}{x}\)+ \(\frac{3y}{z}\)+ \(\frac{3z}{y}\)> hoặc =
1a) Không giảm tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\) suy ra \(a=b+m\) \(\left(m\ge0\right)\)
Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}\)
\(=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=\frac{b+m}{b+m}=1+\frac{b+m}{b+m}\)
\(=1+1=2\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) (dấu \(=\Leftrightarrow m=0\Leftrightarrow a=b\))
Vậy tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
a)Tham khảo:Câu hỏi của Yêu Chi Pu - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
b) \(P=\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}=3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge3.2=6\)
\(Q=3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\ge3\left(2+2+2\right)=18\)
Cho x,y là số nguyên thỏa mãn 3x-5y chia hết cho 23. Chứng minh rằng 5x-16y cũng thỏa mãn chia hết cho 23 ?
xét hiệu A=5(3x-5y)-3(5x-16y)=23y
=> A chia hết cho 23,mà 3x-5y chia hết cho 23=>3(5x-16y) chia hết cho 23
Mà (3;23)=1=>5x-16y chia hết cho 23(đpcm)
Chứng minh rằng nếu x,y là số nguyên thì 2x+3y chia hết cho 17 và 9x +5y chia hết cho 17
Ta có:
3.(9x+5y) - 5(2x+3y) chia hết cho 17
=> 27x + 15y - 10x - 15y chia hết cho 17
=> 27x-10x chia hết cho 17
=> 13x chia hết cho 17 ( sai đè chỗ này nha bạn đ/a đúng phải là : 17x chia hết cho 17)
Vì 2x+3y chia hết cho 17 => 5(2x+3y) chia hết cho 17
=> 3(9x+5y) chia hết cho 17 => 9x+5y chia hết cho 7 ( vì 3 ko chia hết cho 17)
Vậy 9x+5y chia hết cho 17 (đpcm)
k nha bạn !
B1: Chứng minh rằng:Nếu 10x2+5xy-3y2=0 thì \(\frac{2x-y}{3x-y}+\frac{5y-x}{3x+y}=-3\)
B2:Tìm giá trị nguyên của x sao cho:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}+\frac{x-2}{x^2+2x}\)nhận giá trị nguyên
\(A=\frac{2x-y}{3x-y}+\frac{5y-x}{3x+y}\)
\(=\frac{\left(2x-y\right)\left(3x+y\right)+\left(5y-x\right)\left(3x-y\right)}{\left(3x-y\right)\left(3x+y\right)}\)
\(=\frac{3x^2+15xy-6y^2}{9x^2-y^2}\)
\(=\frac{3\left(x^2+5xy-2y^2\right)}{9x^2-y^2}\)
\(=\frac{3\left(10x^2+5xy-3y^2-9x^2+y^2\right)}{9x^2-y^2}\)
\(=-\frac{3\left(9x^2-y^2\right)}{9x^2-y^2}\)
= - 3 (đpcm)
~~~
\(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}+\frac{x-2}{x^2+2x}\)
\(=\frac{x+2+x+x-2}{x^2+2x}\)
\(=\frac{3x}{x\left(x+2\right)}\)
\(=\frac{3}{x+2}\)
\(A\in Z\)
\(\Leftrightarrow3⋮x+2\)
\(\Leftrightarrow x+2\in\text{Ư}\left(3\right)=\left\{-3:-1;1;3\right\}\)
\(\Leftrightarrow x\in\left\{-5;-3;-1;1\right\}\)
Chứng Minh Rằng: Nếu x,y nguyên thỏa mãn hệ thức 2x2+x=3y2+y thì x-y, 2x+2y+1 và 3x+3y+1 là các số chính phương.
=> 2x2 - 2y2 + x - y = y2
=> 2(x2 - y2) + (x - y) = y2
=> 2.(x - y).(x+y) + (x - y) = y2
=> (x - y).(2x+ 2y + 1) = y2 là số chính phương (*)
Nhận xét: x - y và 2x + 2y + 1 nguyên tố cùng nhau (**) vì:
Gọi d = ƯCLN(x - y; 2x + 2y + 1)
=> x- y ; 2x + 2y + 1 chia hết cho d
=> y2 = (x - y).(2x+ 2y+ 1) chia hết cho d2 => y chia hết cho d
và (2x+ 2y+ 1) - 2(x - y) chia hết cho d => 4y + 1 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d hay d = 1
Từ (*)(**) => x - y và 2x + 2y + 1 là số chính phương
Tương tự: có 3y2 - 3x2 + y - x = -x2
=> 3(x2 - y2) + (x - y) = x2
=> 3(x - y)(x+y) + (x - y) = x2
=> (x - y).(3x+ 3y + 1) = x2 là số chính phương
Mà x - y là số chính phương nên 3x + 3y + 1 là số chonhs phương
=> ĐPCM
=> 2x2 - 2y2 + x - y = y2
=> 2(x2 - y2) + (x - y) = y2
=> 2.(x - y).(x+y) + (x - y) = y2
=> (x - y).(2x+ 2y + 1) = y2 là số chính phương (*)
Nhận xét: x - y và 2x + 2y + 1 nguyên tố cùng nhau (**) vì:
Gọi d = ƯCLN(x - y; 2x + 2y + 1)
=> x- y ; 2x + 2y + 1 chia hết cho d
=> y2 = (x - y).(2x+ 2y+ 1) chia hết cho d2 => y chia hết cho d
và (2x+ 2y+ 1) - 2(x - y) chia hết cho d => 4y + 1 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d hay d = 1
Từ (*)(**) => x - y và 2x + 2y + 1 là số chính phương
Tương tự: có 3y2 - 3x2 + y - x = -x2
=> 3(x2 - y2) + (x - y) = x2
=> 3(x - y)(x+y) + (x - y) = x2
=> (x - y).(3x+ 3y + 1) = x2 là số chính phương
Mà x - y là số chính phương nên 3x + 3y + 1 là số chonhs phương
=> ĐPCM
=> 2x2 - 2y2 + x - y = y2
=> 2(x2 - y2) + (x - y) = y2
=> 2.(x - y).(x+y) + (x - y) = y2
=> (x - y).(2x+ 2y + 1) = y2 là số chính phương (*)
Nhận xét: x - y và 2x + 2y + 1 nguyên tố cùng nhau (**) vì:
Gọi d = ƯCLN(x - y; 2x + 2y + 1)
=> x- y ; 2x + 2y + 1 chia hết cho d
=> y2 = (x - y).(2x+ 2y+ 1) chia hết cho d2 => y chia hết cho d
và (2x+ 2y+ 1) - 2(x - y) chia hết cho d => 4y + 1 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d hay d = 1
Từ (*)(**) => x - y và 2x + 2y + 1 là số chính phương
Tương tự: có 3y2 - 3x2 + y - x = -x2
=> 3(x2 - y2) + (x - y) = x2
=> 3(x - y)(x+y) + (x - y) = x2
=> (x - y).(3x+ 3y + 1) = x2 là số chính phương
Mà x - y là số chính phương nên 3x + 3y + 1 là số chonhs phương
=> ĐPCM
bấm đúng cho tớ nhé các bạn
Câu 1: Chứng minh rằng nếu \(x+\frac{1}{x}\)là số nguyên thì \(x^n+\frac{1}{x^n}\)cũng là số nguyên với mọi số tự nhiên n
Câu 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: \(x^2+y^2-x-y=8\)
Câu 3: Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì số \(2016^n-1\)không chia hết cho 1000n _ 1
( Trân trọng cảm ơn gia đình OLM.VN )
Câu 2: Nhân cả hai vế của phương trình với 4 , ta có:
\(4x^2+4y^2-4x-4x=32\Leftrightarrow\left(4x-4x+1\right)+\left(4y^2-4y+1\right)=34\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2+\left(2y-1\right)^2=34\)
Ta thấy 34 = 52 + 32 nên ta có bảng:
2x-1 | 5 | -5 | 3 | -3 |
x | 3 | -2 | 2 | -1 |
2y-1 | 5 | -5 | 3 | -3 |
y | 3 | -3 | 2 | -1 |
Vậy các cặp nghiệm nguyên thỏa mãn là (5;3) , (5;-3) , (-5;3) , (-5;-3) , (3; 5), (3;-5) , (-3; 5), (-3;-5)
Xét \(x^2+\frac{1}{x^2}\)=\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\in Z\).Giả sử đúng đến n=k , ta sẽ c/m n đúng đến k+1.
Điều này là hiển nhiên vì \(x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^k+\frac{1}{x^k}\right)-x^{k-1}-\frac{1}{x^{k-1}}\in Z\)