Question

Chứng minh rằng nếu \(\frac{3x+5y}{x+y}\)là một số nguyên thì \(\frac{5x+3y}{x+y}\)cũng là một số nguyên.

Answer 1

Xét \(\frac{3x+5y}{x+y}=\frac{3x+3y}{x+y}+\frac{2y}{x+y}=\frac{3\left(x+y\right)}{x+y}+\frac{2y}{x+y}=3+\frac{2y}{x+y}\)

Mà \(\frac{3x+5y}{x+y}\) là số nguyên nên \(\frac{2y}{x+y}\) cũng là số nguyên

\(\frac{5x+3y}{x+y}=\frac{5x+5y}{x+y}-\frac{2y}{x+y}=\frac{5\left(x+y\right)}{x+y}-\frac{2y}{x+y}=5-\frac{2y}{x+y}\)

Ta đã chứng minh được \(\frac{2y}{x+y}\) là số nguyên => 5-\(\frac{2y}{x+y}\) là số nguyên => \(\frac{3x+5y}{x+y}\) là số nguyên (đpcm)