a: góc BEC=góc BDC=90 độ

=>BEDC nộitiếp

Tâm I là trung điểm của BC

b: IE=ID

mà IK là trung tuyến

nên IK vuông góc ED

Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)

=>góc xAC=góc ABC=góc ADE

=>DE//Ax

=>ED vuông góc OA

=>IK//OA

a) Ta có: \(\angle BEC=\angle BDC=90\Rightarrow BCDE\) nội tiếp

Gọi I là trung điểm BC

Vì \(\Delta BEC\) vuông tại E có I là trung điểm BC \(\Rightarrow IE=IB=IC\)

Vì \(\Delta BDC\) vuông tại D có I là trung điểm BC \(\Rightarrow ID=IB=IC\)

\(\Rightarrow ID=IE=IB=IC\Rightarrow I\) là tâm của (BCDE)

b) Vì AK là đường kính \(\Rightarrow\angle ABK=\angle ACK=90\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BK\bot AB\\CK\bot AC\end{matrix}\right.\) mà \(\left\{{}\begin{matrix}CH\bot AB\\BH\bot AC\end{matrix}\right.\Rightarrow\) \(CH\parallel BK,BH\parallel CK\)

\(\Rightarrow BHCK\) là hình bình hành có I là trung điểm BC

\(\Rightarrow H,I,K\) thẳng hàng

a: góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC

I là trung điểm của BC

b: góc ABK=1/2*sđ cung AK=90 độ

=>BK//CH

góc ACK=1/2*sđ cung AK=90 độ

=>CK//BH

mà BK//CH

nên BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

=>H,I,K thẳng hàng

a, Gọi I là trung điểm của BC 

Tam giác BEC vuông tại E trung tuyến EI nên IE = IB = IC 

Tam giác BFC vuông tại F trung tuyến FI nên IF = IB = IC

Vậy tứ giác BEFC cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính IB 

b,  Ta có :

\(\widehat{ACK}=90^0\) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

= > BH // CK ( cùng vuông góc với AC )

Tương tự ta cũng có CH // BK 

= > BHCK là hình bình hành

= > 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của BC 

= > H,I,K thẳng hàng ( đpcm )

c, Dễ thấy các tứ giác AFHE và BFHD nội tiếp nên :

\(\widehat{DFE}=\widehat{DFH}+\widehat{HFE}=\widehat{HBD}+\widehat{HAF}=2\widehat{HBD}=2.\left(90^0-\widehat{C}\right)=180^0-2\widehat{C}\)

( Do góc HBD và HAF cùng phụ với góc C )

Lại có :

Tam giác EIC cân tại I nên :

\(\widehat{EIC}=180^0-\widehat{IEC}-\widehat{ECI}=180^0-2\widehat{C}\)

\(=>\widehat{EIC}=\widehat{DFE}\)

= > Tứ giác DFEI là tứ giác nội tiếp 

= > D,F,E,I cùng thuộc 1 đường tròn 

a: Xét tứ giác AEHF có

góc AEH+góc AFH=180 độ

=>AEHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFEC có

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

=>ΔABK vuông tại B

=>BK//CH

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

=>ΔACK vuông tại C

=>CK//BH

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

=>BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của BC

Bạn xem câu a) tại link này

https://h.vn/hoi-dap/question/54831.html

Câu hỏi của Linh olm - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

a)

xét tứ giác AEHF có :

AEH = 90⁰ (BE là đường cao của B trên AC )

AFH = 90⁰ (CF là dường cao của C trên AB )

ta có ; AEH + AFH = 180⁰ mà 2 góc này ở vị trí đối nhau 

==> tứ giác AEHF nội tiếp 

xét tứ AEDB có :

AEB = 90⁰ (BE là dường cao của B trên AC )

ADB = 90⁰ (AD là đường cao của A trên BD )

mà 2 góc này cùa nhìn cạnh AB dưới một góc vuông 

==> tứ giác AEDB nội tiếp

câu b vì mình ko hiểu đường cao của đường tròn là gì :/

a: góc AEH+góc AFH=180 độ

=>AEHF nội tiếp

b; góc ABD=1/2*180=90 độ

=>BD vuông góc AB

=>BD//CH

góc ACD=1/2*180=90 độ

=>CD vuông góc AC

=>CD//BH

Xét tứ giác BHCD có

BH//CD

BD//CH

=>BHCD là hbh

=>BC cắt HDtại trung điểm của mỗi đường

=>H,M,D thẳng hàng

Mình sửa lại đề: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp (O). Đường cao BD, CE cắt nhau tại H. EF cắt BC tại F. AF cắt lại (O) tại K. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Từ gt dễ thấy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn tâm M.

b) Tứ giác BCDE nội tiếp nên theo phương tích ta có FB . FC = FD . FE.

Tứ giác AKBC nội tiếp nên theo phương tích ta có FK . FA = FB . FC.

Vậy ta có đpcm.

c) Ta có FA . FK = FE . FD nên theo phương tích đảo ta có tứ giác AKED nội tiếp.

Gọi giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính AH và FH là N.

Khi đó FH . FN = FE . FD = FB . FC.

Suy ra tứ giác BHNC nội tiếp.

Ta có \(\widehat{DNC}=360^o-\widehat{DNH}-\widehat{CNH}=\left(180^o-\widehat{DNH}\right)+\left(180^o-\widehat{CNH}\right)=\widehat{DEH}+\widehat{HBC}=2\widehat{HBC}=\widehat{DMC}\).

Do đó tứ giác DNMC nội tiếp.

Tương tự tứ giác ENMB nội tiếp.

Suy ra \(\widehat{DNM}+\widehat{DNA}=180^o-\widehat{ACB}+\widehat{AED}=180^o\) nên A, N, M thẳng hàng.

Từ đó \(\widehat{MHN}=\widehat{ANH}=90^o\) nên \(FH\perp AM\).

(Câu c là trường hợp đặc biệt của định lý Brocard khi tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn tâm M).

Hình vẽ: