a, d1//d2 <=> 2m-1= m+1 <=> 2m-m = 1+1 <=> m=2

a: Để (d1)//(d2) thì \(\left\{{}\begin{matrix}2m-1=m+1\\-2m+5< >m-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2m-m=1+1\\-2m-m< >-1-5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m=2\\-3m\ne-6\end{matrix}\right.\)

=>\(m\in\varnothing\)

b: Để (d1) cắt (d2) thì \(2m-1\ne m+1\)

=>\(2m-m\ne1+1\)

=>\(m\ne2\)

PTHĐGĐ là:

x^2-(2m+1)x+2m=0

Δ=(2m+1)^2-4*2m

=4m^2+4m+1-8m=(2m-1)^2

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì 2m-1<>0

=>m<>1/2

y1+y2-x1x2=1

=>(x1+x2)^2-3x1x2=1

=>(2m+1)^2-3*2m=1

=>4m^2+4m+1-6m-1=0

=>4m^2-2m=0

=>m=0 hoặc m=1/2(loại)

`a)` Phương trình hoành độ của `(P)` và `(d)` là:

     `x^2=(2m+2)x-m-2m`

`<=>x^2-2(m+1)x+3m=0`     `(1)`

`(P)` cắt `(d)` tại `2` điểm `A,B<=>` Ptr `(1)` có `2` nghiệm phân biệt

   `=>\Delta' > 0`

`<=>(m+1)^2-3m > 0`

`<=>m^2+2m+1-3m > 0`

`<=>m^2-m+1 > 0` (LĐ `AA m`)

   `=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=-b/a=2m+2),(x_1.x_2=c/a=3m):}`

Ta có: `{(2x_1+x_2=5),(x_1+x_2=2m+2):}`

`<=>{(x_1=3-2m),(3-2m+x_2=2m+2):}`

`<=>{(x_1=3-2m),(x_2=4m-1):}`

Thay vào `x_1.x_2=3m`

  `=>(3-2m)(4m-1)=3m`

`<=>12m-3-8m^2+2m=3m`

`<=>8m^2-11m+3=0`

`<=>(m-1)(8m-3)=0<=>[(m=1),(m=3/8):}`

Lời giải:
a. $(d)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ $3$, tức là cắt trục tung tại điểm $(0;3)$

$(0;3)\in (d)$

$\Leftrightarrow 3=(m+2).0+2m^2+1$

$\Leftrightarrow 2m^2=2$
$\Leftrightarrow m^2=1$

$\Leftrightarrow m=\pm 1$

Khi $m=1$ thì ta có hàm số $y=3x+3$

Khi $m=-1$ thì ta có hàm số $y=x+3$ 

Bạn có thể tự vẽ 2 đths này.

b.

Để $(d)$ cắt $(d')$ thì: $m+2\neq 2m+2$

$\Leftrightarrow m\neq 0$

Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có 

\(x^2=\left(2m+1\right)x-2m\Leftrightarrow\left(x-2m\right)\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=2m\end{cases}}\)

để p cắt d tại hai điểm phân biệt thì \(2m\ne1\Leftrightarrow m\ne\frac{1}{2}\).

ta có \(\hept{\begin{cases}x_1=1\Rightarrow y_1=x_1^2=1\\x_2=2m\Rightarrow y_2=x_2^2=4m^2\end{cases}}\)Vậy \(y_1+y_2-x_1x_2=1+4m^2-2m=1\Leftrightarrow4m^2-2m=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=0\\m=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Kết hợp điều kiện hai nghiệm phân biệt ta có m =0 

Xét PT hoành độ giao điểm của (P) và (d)

x²=(2m+1)x-2m

⇔x²-(2m+1)x+2m=0

a=1; b=-2m-1; c=2m
a+b+c=a+(-2m-1)+2m=0 Nên PT (1) có 2 nghiệm

x₁=1 và x₂=2m

*) với x₁=1 ⇒y₁=1

*) với x₂=2m ⇒y₂=(2m)²=4m²

Thay x1, x2, y1, y2 vào y₁+y₂-x₁x₂=1, ta có:

1+4m²-2m=1

⇔4m²-2m=0⇔2m(2m-1)=0 ⇔m=0 và m=\(\dfrac{1}{2}\)

Vậy với m=0 và 1/2 thì ......

PTHĐGĐ là:

x^2-(2m+5)x+2m+1=0

Δ=(2m+5)^2-4(2m+1)

=4m^2+20m+25-8m-4

=4m^2+12m+21=(2m+3)^2+12>=12>0 với mọi m

=>(d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt