Cho tam giác ABC, M,N là trung điểm AB,AC. Trên tia đối của MN lấy điểm P sao cho NP=NM
a) CM: tam giác ANM= tam giác CNP
b) CM: PC//AM và PC//AB
c) CM: BC=2MN
Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Trên tia đối tia NM lấy điểm P sao cho NP=MN
a) CM: tam giác AMN = tam giác CPN
b) CM: CP song song vs AM, CP=MP
c) CM: tam giác MPB = tam giác CBP
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC). Gọi M và N là trung điểm của AB và AC. Trên tia đối của tia NM lấy điểm K sao cho MN =NK.
A. Chứng minh tam giác ANM = tam giác CNK
B. Chứng minh AM // CK và BM = CK
C. Vẽ đoạn thẳng CM. Chứng minh MN = BC : 2
Cho tam giác ABC có M,N là trung điểm AB, AC. Trên tia đối của tia NM lấy P sao cho MN=PN
a) C/m AM = PC
b) C/m Am // PC
c) C/m tam giác MCP= tam giác CMB
d) C/m BC=2MN
e) lấy E thuộc PC, F thuộc AM sao cho AF= EC. C/m E,N,F khác nhau
a: Xét tứ giác AMCP có
N là trung điểm của AC
N là trung điểm của MP
Do đó: AMCP là hình bình hành
Suy ra: AM=PC
1. Cho tam giác ABC. Trên các tia đối AB, AC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE=AC, AF=AB. CM: BC=EF.
2. Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC. Trên tia AM lấy điểm D sao cho AM=MD.
a, CM: tam giác ABC = tam giác DMC
b, CM: AB//CD
c, CM: AC = BD
d, CM: tam giác ABC = tam giác DCB
1.
Xét tam giác BAC và tam giác FAE có:
BA = FA (gt)
BAC = FAE (2 góc đối đỉnh)
AC = AE (gt)
=> Tam giác BAC = Tam giác FAE (c.g.c)
=> BC = FE (2 cạnh tương ứng)
2.
Xét tam giác AMB và tam giác DMC có:
AM = DM (gt)
AMB = DMC (2 góc đối đỉnh)
MB = MC (M là trung điểm của BC)
=> Tam giác AMB = Tam giác DMC (c.g.c)
=> ABM = DCM (2 góc tương ứng)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=> AB // DC
Xét tam giác AMC và tam giác DMB có:
AM = DM (gt)
AMC = DMB (2 góc đối đỉnh)
MC = MB (M là trung điểm của CB)
=> Tam giác AMC = Tam giác DMB (c.g.c)
=> AC = DB (2 cạnh tương ứng)
Xét tam giác ABC và tam giác DCB có:
AB = DC (tam giác AMB = tam giác DMC)
BC chung
AC = DB (chứng minh trên)
=> Tam giác ABC = Tam giác DCB (c.c.c)
cho tam giác ABC vuông tại A. N là trung điểm của AC, Trên tia đối của tia NB lấy điểm P sao cho NP=NB
Chứng minh:
a) Tam giác ABN=tam giác CPN
b)PC=AC
c)AP // BC
d)Trên cach AB lấy điểm Q. Trên cạch PC lấy điểm M sao cho: AQ=PM: Chứng minh: N là trung điểm QM
\(\text{Cho tam giác ABC ( AB = AC), AM là phân giác của góc BAC ( M thuộc BC) a) CM: M là trung điểm của BC. b) Trên tia đối của tia AB lấy E, trên tia đối của tia AC lấy điểm F sao cho AE = AF. CM: tam giác BCE = tam giác CBF c) CM: ME = MF d) Gọi N là trung điểm EF. CM: A, M, N thẳng hàng}\)
a) Vì AM là phân giác của góc BAC
nên góc BAM = CAM
Xét ΔBAM và ΔCAM có:
AB = AC ( giả thiết )
Góc BAM = CAM ( chứng minh trên )
AM cạnh chung.
=> Δ BAM = ΔCAM ( c.g.c )
=> BM = CM ( 2 cạnh tương ứng )
mà M nằm giữa B và C
Do đó M là trung điểm của BC → ĐPCM.
b) Ta có: AB + BE = AE
AC + CF = AF
mà AB = AC ( đề bài ); AE = AF (đề bài)
=> BE = CF.
Do ΔBAM = ΔCAM nên góc ABC = ACB ( 2 góc tương ứng )
Lại có: Góc ABC + CBE = 180 độ (kề bù)
Góc ACB + BCF = 180 độ (kề bù)
=> ABC + CBE = ACB + BCF
=> Góc CBE = BCF.
Xét ΔBCE và ΔCBF có:
BE = CF ( chứng minh trên)
Góc CBE = BCF ( chứng minh trên)
BC cạnh chung ( theo hình vẽ)
=> ΔBCE = ΔCBF ( c.g.c ) → ĐPCM.
c) Lại do ΔBCE = ΔCBF nên góc EBC = FCB ( 2 góc tương ứng ) hay góc EBM = FCM
Xét ΔMBE và ΔMCF có:
MB = MC ( chứng minh ở câu a )
Góc EBM = FCM ( chứng minh trên)
BE = FC ( chứng minh ở câu b)
=> ΔMBE = ΔMCF ( c.g.c )
=> ME = MF ( 2 cạnh tương ứng ) → ĐPCM.
d) Xét ΔEMN và ΔFMN có:
EM = FM ( chứng minh ở câu c )
EN = FN ( N là trung điểm EF )
MN chung.
=> ΔEMN = ΔFMN.
=> Góc ENM = FNM (2 góc tương ứng)
Suy ra MN là tia phân giác của góc ENF (1)
Có: góc BAM = CAM
Suy ra AM là tia phân giác của góc BAC (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, M, N nằm trên cùng 1 đường thẳng.
Do đó A, M, N thẳng hàng → ĐPCM.
CM:a) Xét t/giác ABM và ACM
có: AB = AC (gt)
\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (gt)
AM : chung
=> t/giác ABM = t/giác ACM (c.g.c)
=> BM = CM (2 cạnh t/ứng)
=> M là trung điểm của BC
b) Ta có: AE + AC = EC
AF + AB = FB
mà AE = AF (gt); AB = AC (gt)
=> EC = FB
Xét t/giác BCE và t/giác CBF
có: BC : chung
\(\widehat{BCE}=\widehat{FBC}\) (vì t/giác ABC cân)
EC = FB (cmt)
=> t/giác BCE = t/giác CBF (c.g.c)
c) Xét t/giác BEM và t/giác CFM
có: EB = FC (vì t/giác BCE = t/giác CBF)
\(\widehat{EBM}=\widehat{FCM}\) (vì t/giác BCE = t/giác CBF)
BM = CM (cm câu a)
=> t/giác BEM = t/giác CFM (c.g.c)
=> ME = MF (2 cạnh t/ứng)
d) Xét t/giác AEN và t/giác AFN
có: AE = AF (gt)
EN = FN (gt)
AN : chung
=> t/giác AEN = t/giác AFN (c.c.c)
=> \(\widehat{EAN}=\widehat{MAF}\) (2 góc t/ứng)
=> AN là tia p/giác của góc EAF => \(\widehat{EAN}=\widehat{MAF}=\frac{\widehat{EAF}}{2}\)
AM là tia p/giác của góc BAC => \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}=\frac{\widehat{BAC}}{2}\)
Mà \(\widehat{EAF}=\widehat{BAC}\) (đối đỉnh)
=> \(\widehat{EAN}=\widehat{NAF}=\widehat{BAM}=\widehat{MAC}\)
Ta có: \(\widehat{FAN}+\widehat{NAE}+\widehat{EAB}=180^0\)
hay \(\widehat{BAM}+\widehat{EAB}+\widehat{EAN}=180^0\)
=> A, M, N thẳng hàng
Cho tam giác ABC, trên đoạn AB lấy điểm M , gọi N là trung điểm của AC , trên tia MN lấy điểm P : NP=MN.C/m:
a, MC = AP và MC // AP
b, PC // AM và PC = AM
a) Xét ∆ANP và ∆CMN ta có :
AN = NC
MN = NP
ANP = MNC ( đối đỉnh)
=> ∆ANP = ∆CMB (c.g.c)
=> AP = MC ( dpcm)
=> APN = NMC ( góc tg ứng)
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=> AP//MC (dpcm)
b) Xét ∆AMN và ∆CPN ta có :
AN = NC
MN = NP
ANM = PNC ( đối đỉnh)
=> ∆AMN = ∆CPN (c.g.c)
=> AM = PC
=> NAM = NCP ( tg ứng)
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=> AM //PC
cho tam giác ABC .MN là trung điểm của AB và AC trên tia đối của tia NM xác định điểm P sao cho NP=MN
a) CM: CP=2MN
cho tam giác ABC có góc A=90 độ;AB<AC. gọi M là trung điểm của BC trên tia đối của tia MA lấy E sao cho MA=ME.
a) cm AB=EC VÀ AB // EC
b) cm tam giác ACE vuông tại C
c)cm tam giác ABC và TAM GIÁC CEA
D) CM AM=1/2 BC
E) CM AC=BE VÀ AC // BC
F)TRÊN BE lấy K, trên AClấy H sao cho BK=CH. CM 3 ĐIỂM K,M,H THẲNG HÀNG
a: Xét ΔMAB và ΔMEC có
MA=ME
\(\widehat{AMB}=\widehat{EMC}\)(hai góc đối đỉnh)
MB=MC
Do đó: ΔMAB=ΔMEC
=>AB=EC
Ta có: ΔMAB=ΔMEC
=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MEC}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên AB//CE
b: Ta có: AB//CE
AB\(\perp\)AC
Do đó: CE\(\perp\)CA
=>ΔCAE vuông tại C
c: Xét ΔABC vuông tại A và ΔCEA vuông tại C có
CA chung
AB=CE
Do đó: ΔABC=ΔCEA
d: ta có: ΔABC=ΔCEA
=>BC=EA
mà \(AM=\dfrac{1}{2}EA\)
nên \(AM=\dfrac{1}{2}BC\)
e: Xét ΔMAC và ΔMEB có
MA=ME
\(\widehat{AMC}=\widehat{EMB}\)(hai góc đối đỉnh)
MC=MB
Do đó: ΔMAC=ΔMEB
=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MEB}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên AC//BE
f: Xét ΔMHC và ΔMKB có
MB=MC
\(\widehat{MBK}=\widehat{MCH}\)
BK=CH
Do đó: ΔMHC=ΔMKB
=>\(\widehat{HMC}=\widehat{KMB}\)
mà \(\widehat{KMB}+\widehat{KMC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{HMC}+\widehat{KMC}=180^0\)
=>K,M,H thẳng hàng
a) Ta có M là trung điểm của BC, vậy BM = MC. Vì MA = ME, nên ta có MA = ME = MC. Do đó, tam giác MEC là tam giác đều.
Vì BM = MC và tam giác MEC là tam giác đều, nên ta có AB = EC và AB // EC.
b) Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ.
Vì AB // EC, nên góc BAC = góc ECA.
Vậy tam giác ACE cũng là tam giác vuông tại C.
c) Tam giác ABC và tam giác CEA có cạnh chung AC và góc AEC = góc BAC = 90 độ (vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A).
Vậy theo trường hợp góc - cạnh - góc, ta có tam giác ABC và tam giác CEA là hai tam giác đồng dạng.
d) Ta đã biết M là trung điểm của BC, vậy BM = MC.
Vì MA = ME, nên MA = MC/2.
Do đó, AM = 1/2 BC.
e) Ta đã biết AB = EC và AB // EC.
Vì MA = ME, nên MA = MC.
Vậy theo trường hợp cạnh - góc - cạnh, ta có tam giác MAC và tam giác MEC là hai tam giác đồng dạng.
Vậy AC = BE và AC // BC.
f) Trên BE lấy K, trên AC lấy H sao cho BK = CH.
Vì M là trung điểm của BC, nên MK = MC/2.
Vì tam giác MEC là tam giác đều, nên góc MCE = 60 độ.
Vậy góc MCK = 60 độ.
Vì BK = CH, nên góc BKC = góc CHB.
Vậy góc BKC = góc CHB = 60 độ.
Vậy tam giác BKC và tam giác CHB là hai tam giác đều.
Vậy 3 điểm K, M, H thẳng hàng.