Bài 3:

a, (\(x\)+y+z)²

=((\(x\)+y) +z)²

= (\(x\) + y)² + 2(\(x\) + y)z + z²

= \(x^2\) + 2\(xy\) + y² + 2\(xz\) + 2yz + z²

=\(x^2\) + y² + z² + 2\(xy\) + 2\(xz\) + 2yz

b, (\(x-y\))(\(x^2\) + y² + z² - \(xy\) - yz - \(xz\))

= \(x^3\) + \(xy^2\) + \(xz^2\) - \(x^2\)y - \(xyz\) - \(x^2\)z - y³ 

Đến dây ta thấy xuất hiện \(x^3\) - y³ khác với đề bài, em xem lại đề bài nhé

c,

(\(x\) + y + z)³ 

=(\(x\) + y)³ + 3(\(x\) + y)²z + 3(\(x\)+y)z² + z³

= \(x^3\) + 3\(x^2\)y + 3\(xy^{2^{ }}\) + y³ +  3(\(x\)+y)z(\(x\) + y + z) + z³

= \(x^3\) + y³ + z³ + 3\(xy\)(\(x\) + y) + 3(\(x+y\))z(\(x+y+z\))

= \(x^3\) + y³ + z³ + 3(\(x\) + y)( \(xy\) + z\(x\) + yz + z²)

= \(x^3\) + y³ + z³ + 3(\(x\) + y){(\(xy+xz\)) + (yz + z²)}

= \(x^3\) + y³ + z³ + 3(\(x\) + y){ \(x\)( y +z) + z(y+z)}

= \(x^3\) + y³ + z³ + 3(\(x\) + y)(y+z)(\(x+z\)) (đpcm)

Đề lỗi công thức rồi. Bạn xem lại.

Với mọi x;y;z ta luôn có:

\(\left(x+y-1\right)^2+\left(z-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy-2x-2y+1+z^2-z+\dfrac{1}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+\dfrac{5}{4}+2xy-2x-2y-z\ge0\)

\(\Leftrightarrow2+2xy-2x-2y\ge z\)

\(\Leftrightarrow2\left(1-x\right)\left(1-y\right)\ge z\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)

Dùng phương pháp chặn :

x \(\le\) y \(\le\) z \(\Rightarrow\) x² \(\le\) y² \(\le\) z² \(\Rightarrow\) x² + y² + z² \(\le\) 3z² 

\(\Rightarrow\) 3z² \(\ge\) 34 \(\Leftrightarrow\) z² \(\ge\) 34/3  (1)

x² + y² + z²  = 34 mà x,y,z \(\in\) N \(\Rightarrow\) z² \(\le\) 34 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có : 

34/3  \(\le\) z² \(\le\)  34 

\(\Rightarrow\) z² \(\in\) { 16; 25}

vì z \(\in\) N\(\Rightarrow\) z \(\in\) { 4; 5}

th1 Z = 4 ta có :

x² + y² + 16 = 34

x² + y² = 12 

x \(\le\) y \(\Rightarrow\) x² \(\le\)y² \(\Rightarrow\) x² + y² \(\le\) 2y² \(\Rightarrow\) 12 \(\le\)2y² \(\Rightarrow\) y² \(\ge\) 6 (*)

x² + y² = 12 \(\Rightarrow\) y² \(\le\) 12 (**)

Kết hợp (*) và (**) ta có :

6 \(\le\) y² \(\le\) 12 \(\Rightarrow\) y² = 9 vì y \(\in\) N\(\Rightarrow\) y = 3

với y = 3 ta có : x² + 3² = 12 \(\Rightarrow\) x² = 12-9 = 3 \(\Rightarrow\) x = +- \(\sqrt{3}\)(loại vì x \(\in\) N)

th2 : z = 5 ta có :

x² + y² + 25 = 34

\(\Rightarrow\) x² + y² = 34 - 25  = 9

x \(\le\) y \(\Rightarrow\) x² \(\le\) y² \(\Rightarrow\) x² + y² \(\le\)2y² \(\Rightarrow\) 2y² \(\ge\) 9 \(\Rightarrow\) y² \(\ge\) 9/2 (a)

x² + y² = 9 \(\Rightarrow\) y² \(\le\) 9 (b)

Kết hợp (a) và (b) ta có :

9/2 \(\le\) y² \(\le\) 9 \(\Rightarrow\) y² = 9 vì y \(\in\) N \(\Rightarrow\) y = 3

với y = 3 \(\Rightarrow\) x² + 3² = 9 \(\Rightarrow\) x² = 0 \(\Rightarrow\) x = 0

kết luận (x; y; z) =( 0; 3; 5) là nghiệm duy nhất thỏa mãn pt 

Ta có:

  P = 1 x ( 1 z 2 + 1 y 2 ) + 1 y ( 1 z 2 + 1 x 2 ) + 1 z ( 1 x 2 + 1 y 2 )

Đặt:  1 x = a ; 1 y = b ; 1 z = c  thì a,b,c>0 và a²+b²+c²=1

P = a b 2 + c 2 + b c 2 + a 2 + c a 2 + b 2 = a 2 a ( 1 − a 2 ) + b 2 b ( 1 − b 2 ) + c 2 c ( 1 − c 2 )

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:

a 2 1 - a 2 2 = 1 2 .2 a 2 ( 1 − a 2 ) ( 1 − a 2 ) ≤ 1 2 2 a 2 + 1 − a 2 + 1 − a 2 3 = 4 27 = > a ( 1 − a 2 ) ≤ 2 3 3 < = > a 2 a ( 1 − a 2 ) ≥ 3 3 2 a 2 ( 1 )

Tương tự:  b 2 b ( 1 − b 2 ) ≥ 3 3 2 b 2 ( 2 ) ; c 2 c ( 1 − c 2 ) ≥ 3 3 2 c 2 ( 3 )

Từ (1); (2); (3) ta có  P ≥ 3 3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 3 3 2

Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1 3 h a y   x = y = z = 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là  3 3 2