Tham khảo:

Tìm GTNN của M=1/1-2(ab+bc+ac)+1/abc - thu phương

1.

\(M=\dfrac{1}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{a+b+c}{abc}=\dfrac{1}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\)

\(M\ge\dfrac{1}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{9}{ab+bc+ca}=\dfrac{1}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)

\(M\ge\dfrac{9}{1-2\left(ab+bc+ca\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=9+21=30\)

2.

a. Hai tam giác vuông BCN và ACM đồng dạng (chung góc C)

\(\Rightarrow\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{CN}{CM}\Rightarrow CN.AC=BC.CM\) (1)

Hai tam giác vuông ABM và CBP đồng dạng (chung góc B) (1')

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BM}{BP}\Rightarrow AB.BP=BC.BM\) (2)

Cộng vế (1) và (2):

\(AB.BP+AC.CN=BC\left(CM+BM\right)=BC^2\)

b.

Từ (1') \(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{BCP}\Rightarrow\) hai tam giác vuông ABM và CHM đồng dạng

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{CM}=\dfrac{BM}{HM}\Rightarrow AM.HM=BM.CM\le\dfrac{1}{4}\left(BM+CM\right)^2=\dfrac{1}{4}BC^2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(BM=CM\) hay tam giác ABC cân tại A

\(\Rightarrow\) A nằm trên trung trực BC

Câu c nhìn là thấy đề sai, \(\Leftrightarrow S_1S_2\le\dfrac{1}{64}\) chỉ cần tam giác ABC đủ lớn thì \(S_1;S_2>1\) BĐT này sẽ sai ngay

a/

Ta thấy F và E đều nhìn BC dưới cùng 1 góc 90 độ nên E,F nằm trên đường tròn đường kính BC ta gọi là đường tròn (O')

=> B,F,E,C cùng nawmg trên một đường tròn

b/

Xét đường tròn (O) ta có

sđ \(\widehat{BQP}=\) sđ \(\widehat{BCP}=\frac{1}{2}\) sđ cung BP (góc nội tiếp đường tròn) (1)

Xét đường tròn (O') ta có

sđ \(\widehat{BEF}=\) sđ \(\widehat{BCP}=\frac{1}{2}\) sđ cung BF (góc nội tiếp đường tròn) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{BQP}=\widehat{BEF}\) => PQ//EF (Hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ 3 có hai góc ở vị trí đồng vị thì chúng // với nhau

c/ ta thấy F và D cùng nhìn BH dưới cùng 1 góc 90 độ nên BDHF là tứ giác nội tiếp

sđ \(\widehat{ABE}=\)sđ \(\widehat{FDA}=\frac{1}{2}\) sđ cung FH (1)

Ta thấy D và E cùng nhìn AB đướ cùng 1 góc 90 độ nên ABDE là tứ giác nội tiếp

sđ \(\widehat{ABE}=\)sđ \(\widehat{ADE}=\frac{1}{2}\) sđ cung AE (2)

Mà \(\widehat{FDA}+\widehat{ADE}=\widehat{FDE}\) (3)

Từ (1) (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{FDE}=2.\widehat{ABE}\left(dpcm\right)\)

Ta giải như sau : 

a) 1.  Góc ACF + Góc BAC = 90 độ ; Góc EBA + BAC = 90 độ => Góc ACF = Góc EBA (cùng phu với Góc BAC)

Mà ACF và EBA là hai góc chắn cung EF của tứ giác EFBC và bằng nhau

=> Tứ giác EFBC nội tiếp.

2. Ta có : BE vuông góc với AC tại E ; CK vuông góc với AC tại C (Vì góc ACK chắn nửa cung tròn đường kính AK)

=> BE // CK (1)

Tương tự ta cũng có : BK // CF (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành (dhnb)

b) Vì tứ giác BHCK là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà M là trung điểm của BC => M cũng là trung điểm HK

Xét tam giác AHK có AM và HO lần lượt là hai đường trung tuyến ( AO = OK ; HM = MK) cắt nhau tại I

=> I là trọng tâm tam giác AHK

Lại có AM là đường trung tuyến tam giác ABC và I thuộc AM => I là trọng tâm tam giác ABC

c) Mình chưa nghĩ ra :))

 giải như sau : 

a) 1.  Góc ACF + Góc BAC = 90 độ ; Góc EBA + BAC = 90 độ => Góc ACF = Góc EBA (cùng phu với Góc BAC)

Mà ACF và EBA là hai góc chắn cung EF của tứ giác EFBC và bằng nhau

=> Tứ giác EFBC nội tiếp.

2. Ta có : BE vuông góc với AC tại E ; CK vuông góc với AC tại C (Vì góc ACK chắn nửa cung tròn đường kính AK)

=> BE // CK (1)

Tương tự ta cũng có : BK // CF (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành (dhnb)

b) Vì tứ giác BHCK là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà M là trung điểm của BC => M cũng là trung điểm HK

Xét tam giác AHK có AM và HO lần lượt là hai đường trung tuyến ( AO = OK ; HM = MK) cắt nhau tại I

=> I là trọng tâm tam giác AHK

Lại có AM là đường trung tuyến tam giác ABC và I thuộc AM => I là trọng tâm tam giác ABC

Ta giải như sau : 

a) 1.  Góc ACF + Góc BAC = 90 độ ; Góc EBA + BAC = 90 độ => Góc ACF = Góc EBA (cùng phu với Góc BAC)

Mà ACF và EBA là hai góc chắn cung EF của tứ giác EFBC và bằng nhau

=> Tứ giác EFBC nội tiếp.

2. Ta có : BE vuông góc với AC tại E ; CK vuông góc với AC tại C (Vì góc ACK chắn nửa cung tròn đường kính AK)

=> BE // CK (1)

Tương tự ta cũng có : BK // CF (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành (dhnb)

b) Vì tứ giác BHCK là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà M là trung điểm của BC => M cũng là trung điểm HK

Xét tam giác AHK có AM và HO lần lượt là hai đường trung tuyến ( AO = OK ; HM = MK) cắt nhau tại I

=> I là trọng tâm tam giác AHK

Lại có AM là đường trung tuyến tam giác ABC và I thuộc AM => I là trọng tâm tam giác ABC

c) Mình chưa nghĩ ra :))