a) Xét ΔABC có 

AM là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)

nên \(\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{AB}{AC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

Xét ΔABC có 

BN là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{NC}{NA}=\dfrac{BC}{AB}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

Xét ΔABC có 

CP là đường phân giác ứng với cạnh AB(gt)

nên \(\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{AC}{BC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

Ta có: \(\dfrac{MB}{MC}\cdot\dfrac{NC}{NA}\cdot\dfrac{PA}{PB}\)

\(=\dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{BC}{AB}\cdot\dfrac{AC}{BC}\)

\(=\dfrac{AB\cdot AC\cdot BC}{AB\cdot AC\cdot BC}=1\)(đpcm)

a) -Xét △ABC có: AM, BN, CP lần lượt là ba đường phân giác (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{AB}{AC};\dfrac{NC}{NA}=\dfrac{BC}{AB};\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{AC}{BC}\) (định lí đường phân giác trong tam giác).

\(\Rightarrow\dfrac{MB}{MC}.\dfrac{NC}{NA}.\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{AB}{AC}.\dfrac{BC}{AB}.\dfrac{AC}{BC}=1\)

b) Ta có:\(\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{AB}{AC}\) (cmt)

 \(\Rightarrow\dfrac{MB}{AB}=\dfrac{MC}{AC}=\dfrac{MB+MC}{AB+AC}=\dfrac{BC}{AB+AC}\)

\(\Rightarrow MC=\dfrac{BC.AC}{AB+AC}\)

-Tương tự: \(NC=\dfrac{BC.AC}{AB+BC}\) ; \(BP=\dfrac{BC.AB}{AC+BC}\)

-Xét △AMC có: CI là đường phân giác (gt)

\(\Rightarrow\dfrac{AI}{MI}=\dfrac{AC}{MC}\) (định lí đường phân giác trong tam giác)

\(\Rightarrow\dfrac{AI}{MI}+1=\dfrac{AC}{MC}+1\)

\(\Rightarrow\dfrac{MA}{MI}=\dfrac{AC}{\dfrac{AC.BC}{AB+AC}}+1\)

\(\Rightarrow\dfrac{MA}{MI}=\dfrac{1}{\dfrac{BC}{AB+AC}}+1\)

\(\Rightarrow\dfrac{MA}{MI}=\dfrac{AB+AC}{BC}+1=\dfrac{AB+AC+BC}{BC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{MI}{MA}=\dfrac{BC}{AB+AC+BC}\)

-Tương tự: \(\dfrac{NI}{NB}=\dfrac{AC}{AB+AC+BC};\dfrac{PI}{PC}=\dfrac{AB}{AB+AC+BC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{MI}{MA}+\dfrac{NI}{NB}+\dfrac{PI}{PC}=\dfrac{AB+AC+BC}{AB+AC+BC}=1\)

không biết

đừng đùa mà

                                                

a) \(\Delta ABC\)có AN là phân giác \(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{NB}{NC}\)( 1 )

Theo bài, ta có: \(AB:AC=4:5\)\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}\)

\(\Rightarrow\frac{NB}{NC}=\frac{4}{5}\)\(\Rightarrow\frac{NB}{4}=\frac{NC}{5}\)

mà \(BC=18cm\)\(\Rightarrow\frac{NB}{4}=\frac{NC}{5}=\frac{NB+NC}{4+5}=\frac{BC}{9}=\frac{18}{9}=2\)

\(\Rightarrow NC=2.5=10\left(cm\right)\)

Vậy \(NC=10cm\)

b) \(\Delta ABC\)có BM là phân giác \(\Rightarrow\frac{AB}{BC}=\frac{MA}{MC}\)(2)

Theo bài, ta có: \(AB:BC=4:7\)\(\Rightarrow\frac{AB}{BC}=\frac{4}{7}\)

\(\Rightarrow\frac{MA}{MC}=\frac{4}{7}\)\(\Rightarrow\frac{MA}{4}=\frac{MC}{7}\)

mà \(MC-MA=3cm\)\(\Rightarrow\frac{MA}{4}=\frac{MC}{7}=\frac{MC-MA}{7-4}=\frac{3}{3}=1\)

\(\Rightarrow MA=1.4=4\left(cm\right)\); \(MC=1.7=7\left(cm\right)\)

mà \(AC=MA+MC\)\(\Rightarrow AC=4+7=11\left(cm\right)\)

Vậy \(AC=11cm\)

c) \(\Delta ABC\)có \(CP\)là phân giác \(\Rightarrow\frac{AP}{BP}=\frac{AC}{BC}\)(3)

Từ (2) \(\Rightarrow\frac{BC}{AB}=\frac{MC}{MA}\)(4)

Từ (1), (3) và (4) \(\Rightarrow\frac{AP}{PB}.\frac{BN}{CN}.\frac{MC}{MA}=\frac{AC}{BC}.\frac{AB}{AC}.\frac{BC}{AB}=1\)( đpcm )

GIÚP mình