a: Xét (O) có

OH là một phần đường kính

CD là dây 

OH\(\perp\)CD tại H

Do đó: H là trung điểm của CD

Xét ΔACD có 

AH là đường cao

AH là đường trung tuyến

Do đó: ΔACD cân tại A

a) Gọi H là giao điểm của OA và CD

Vì CD là đường trung trực của OA nên:

    CD ⊥ OA và HA = HO

Mà CD ⊥ OA nên HC = HD (đường kính dây cung)

Vì tứ giác ACOD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Đồng thời CD ⊥ OA nên ACOD là hình thoi.

b) Vì ACOD là hình thoi nên AC = OC

Mà OC = OA ( = R) nên tam giác OAC đều

Suy ra: ^COA=60∘COA^=60∘ hay ˆCOI=60∘

Mà CI ⊥ OC (tính chất tiếp tuyến)

Trong tam giác vuông OCI, ta có:

CI=OC.tgˆCOI=R.tg60∘=R√3CI=OC.tgCOI^=R.tg60∘=R3.

a/ Ta có AB vuông góc với DC => IC =ID

Tam giác CMD cân tại M và I là trung điểm của DC nên MI vuông góc với DC

Từ hai cái trên ta kết luận M,A,B thẳng hàng

b/ Theo đề bài và câu a ta có

CI = ID

AI = IO

=> Tứ giác OCAD là hình bình hành

ta lại có AO vuông góc với CD

=> Tứ giác OCAD là hình thoi

c/ Ta có \(\cos\left(\widehat{IOC}\right)=\frac{OI}{OC}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{IOC}=60\)

\(\Rightarrow\widehat{CMO}=\widehat{OCM}-\widehat{MOC}=90-60=30\)

Ta có: \(\widehat{CMD}=2\widehat{CMO}=60\)(Vì MI là đường phân giác)

a/

Ta có

HA=HO (gt)

\(OA\perp CD\left(gt\right)\) => HC=HD (Trong đường tròn đường kính vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung)

=> OCAD là hbh (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành)

Mà \(OA\perp CD\left(gt\right)\)

=> OCAD là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuôn góc là hình thoi)

b/ Kéo dài AO cắt (O) tại K ta có

\(\widehat{ACK}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

Xét tg vuông ACK có

\(OA=OK\Rightarrow OC=OA=OK=\dfrac{AK}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Mà \(OC=AC\) (cạn hình thoi)

\(\Rightarrow OC=AC=OA\) => tg ACO là tg đều \(\Rightarrow\widehat{AOC}=60^o\)

Mà \(\widehat{AOD}=\widehat{AOC}=60^o\) (trong hình thoi mỗi đường chéo là phân giác của 2 góc đối)

\(\Rightarrow\widehat{AOC}+\widehat{AOD}=\widehat{COD}=60^o+60^o=120^o\)

c/

Xét tg vuông COI có

\(\widehat{CIO}=90^o-\widehat{AOC}=90^o-60^o=30^o\)

\(\Rightarrow OC=\dfrac{1}{2}OI\) (trong tg vuông cạnh đối diện với góc \(30^o\) bằng nửa cạnh huyền

\(\Rightarrow OI=2.OC=2R\)

\(\Rightarrow CI=\sqrt{OI^2-OC^2}\) (Pitago)

\(\Rightarrow CI=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

d/

Xét tg COI và tg DOI có

OC=OD=R

OI chung

\(\widehat{AOC}=\widehat{AOD}\) (cmt)

=> tg ACO = tg ADO (c.g.c)\(\Rightarrow\widehat{ODI}=\widehat{OCI}=90^o\) => DI là tiếp tuyến với (O)

e/

Ta có

\(sđ\widehat{COD}=sđcungCD=120^o\) (góc có đỉnh là tâm đường tròn)

\(sđ\widehat{ACD}=\dfrac{1}{2}sđcungCD=60^o\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(sđ\widehat{ADC}=\dfrac{1}{2}sđcungCD=60^o\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

Xét tg ACD có

\(\widehat{CAD}=180^o-\left(\widehat{ACD}+\widehat{ADC}\right)=180^o-\left(60^o+60^o\right)=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CAD}=\widehat{ACD}=\widehat{ADC}=60^o\) => tg ACD là tg đều

f/

Ta có 

\(\widehat{ECD}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow EC\perp CD\)

\(OA\perp CD\left(gt\right)\Rightarrow OI\perp CD\)

=> EC//OI (cùng vuông góc với CD)

Giúp mình với ạ <3 

d, Vi ED la tiep tuyen (chung minh tren) => tam giac EDF vuong tai D

co \(\widehat{CDE}=\frac{1}{2}sd\widebat{DC}=\frac{1}{2}\widehat{COD}=\frac{1}{2}.120=60^o\)

ma \(\widehat{CED}+\widehat{COD}=180^o\Rightarrow\widehat{CED}=180-120=60^o\)

suy ra \(\Delta CED\) deu => EC=CD (1)

mat khac cung co \(\widehat{CFD}=\widehat{CDF}\) (phu hai goc bang nhau)

=> tam giac CDF can tai C

suy ra CD=CF (2)

tu (1),(2) suy ra dpcm