a: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0\)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)=-AB^2=-a^2\)

b: \(=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}\)

\(=-a^2-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}+AD^2\)

\(=-0+DA\cdot DB\cdot cos45=a\cdot a\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=a^2\)

a: ABCD là hình vuông

=>AC là phân giác của góc BAD và \(AC^2=AB^2+BC^2\)

AC là phân giác của góc BAD

=>\(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}=\dfrac{1}{2}\cdot90^0=45^0\)

\(AC^2=AB^2+BC^2\)

=>\(AC^2=a^2+a^2=2a^2\)
=>\(AC=a\sqrt{2}\)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=a\cdot a\sqrt{2}\cdot cosBAC\)

\(=a^2\cdot\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=a^2\)

b: Vì ABCD là hình vuông

nên AC\(\perp\)BD

=>\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\)

\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=a\sqrt{5}\)

\(\left|\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{OD}\right|=\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}\right|=AO=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)

Ta có: \(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

+) \(AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AD}  \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0\)

+) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a\sqrt 2.\cos 45^\circ  = a^2\)

+) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = a\sqrt 2 .a.\cos 135^\circ  =  - {a^2}\)

+) \(AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC}  \bot \overrightarrow {BD}  \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = 0\)

Chú ý

\(\overrightarrow {a}  \bot \overrightarrow {b}  \Leftrightarrow \overrightarrow {a} .\overrightarrow {b}  = 0\)

Đáp án A

Từ giả thiết ta có: h = AA' = 2a;

Đáp án là A

Chọn A.

Ta có: 

Do tam giác SAB vuông cân tại A nên SA = AB = a.

Vậy 

Lời giải:
1.

$\overrightarrow{2AO}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$

Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|=a$

2.

Trên tia đối của $AC$ lấy $T$ sao cho $TA=OC$

Trên tia đối của $BA$ lấy $K$ sao cho $BA=BK$

$\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}$

$=\overrightarrow{TB}+\overrightarrow{AB}$

$=\overrightarrow{TB}+\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{TK}$

Ta có:

$TC=3OC=\frac{3}{2}AC=\frac{3}{2}\sqrt{(2a)^2+a^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}a$

$CK=\sqrt{BC^2+BK^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a$

$\cos \widehat{TCK}=\cos 2\widehat{TCB}=2\cos^2 \widehat{TCB}-1$

$=2(\frac{CB}{AC})^2-1=\frac{3}{5}$

Áp dụng định lý cos:

$TK^2=TC^2+CK^2-2TC.CK\cos \widehat{TCK}$

$=\frac{45}{4}a^2+5a^2-9a^2=\frac{29}{4}a^2$

$\Rightarrow TK=\frac{\sqrt{29}}{2}a$

3. Trên tia đối tia $CD$ lấy $M$ sao cho $CM=CD$

$3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{OD}=3\overrightarrow{DC}+2\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DC}$

$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}$

$AM=\sqrt{AD^2+DM^2}=\sqrt{(2a)^2+(2a)^2}=2\sqrt{2}a$

Hình vẽ: