\(\left(x^2+4z\right)^2=17\left(x^4+z^2\right)\)

\(x^4+8x^2z+16z^2=17x^4+17z^2\)

\(t^4-2t^2z+z^2=\left(t^2-z\right)^2=0\)

Nghiệm duy nhất: \(t^2=z\Rightarrow t^2=y^2+7\Rightarrow\hept{\begin{cases}t=4\Rightarrow x=2\\y=3\end{cases}}\)KL (x,y)=(2,3)

sửa \(x^4+y^4+14y^2+49\)

$(x^2+4y^2+28)^2=17(x^4+y^4+14y^2+49)$ - Số học - Diễn đàn Toán học

Ta có :

\(\left(x^2+4y^2+28\right)^2=17\left(x^4+y^4+14y^2+49\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[x^2+4\left(y^2+7\right)\right]^2=17\left[x^4+\left(y^2+7\right)^2\right]\)

\(\Leftrightarrow16x^4-8x^2\left(y^2+7\right)+\left(y^2+7\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[4x^2-\left(y^2+7\right)\right]^2=0\Leftrightarrow4x^2-y^2-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)=7\)

Vì x , y nguyên dương nên \(2x+y>0\)và \(2x+y>2x-y\)

Do đó \(2x+y=7\)và \(2x-y=1\). Vậy \(x=2,y=3\)

Ta có :

\(\left(x^2+4y^2+28\right)^2=17\left(x^4+y^4+14y^2+49\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[x^2+4\left(y^2+7\right)\right]^2=17\left[x^4+\left(y^2+7\right)^2\right]\)

\(\Leftrightarrow16x^4-8x^2\left(y^2+7\right)+\left(y^2+7\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[4x^2-\left(y^2+7\right)\right]^2=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-y^2-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)=7\)

Vì x , y nguyên dương nên \(2x+y>0\) và \(2x+y>2x-y\)

Do đó : \(\left[\begin{array}{nghiempt}2x+y=7\\2x-y=1\end{array}\right.\) \(\Rightarrow x=2;y=3\)

\(16y^4+\left(8x^2+244\right)y^2+x^4+56x^2+784+17x^4+833\)

\(-17y^4+16y^4-238y^2+\left(8x^2+224\right)y^2-4=0\)

\(-\left[y^4+\left(8x^2+14\right)y^2+16x^4-56x^2+4\right]\)

\(\Leftrightarrow\text{[}x^2+4\left(y^2+7\right)\text{]}^2=17\text{[}x^4+\left(y^2+7\right)^2\text{]}\)

\(\Leftrightarrow\)
[x⁴+8(y²+7)+16(y²+7)²=17[x⁴+17(y²+7)²]
\(\Leftrightarrow\)16x⁴-8(y²+7)+(y²+7)²=0

\(\Leftrightarrow\)4x²-(y²+7)=0
\(\Leftrightarrow\)
(2x-y)(2x+y)=7                (1)
Do x. y là các số tự nhiên nên 2x+y>2x-y>0 nên từ (1) \(\Rightarrow\)\(\begin{cases}2x-y=1\\2x+y=7\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\)

\(\left(x^2+4y^2+28\right)^2=17\left[x^4+\left(y^2+7\right)^2\right]\)

y^2 +7 =z

\(\Leftrightarrow x^4+8xz+16z^2=17x^4+17z^2\)

\(\Leftrightarrow16x^4+z^2-8xz=0\)\(\Leftrightarrow\left(4x^2-z\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2=z\Leftrightarrow4x^2-y^2=7\)

\(\left\{{}\begin{matrix}4x^2=16\\y^2=9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(\pm2;\pm3\right)\)

\(\Leftrightarrow-\left(4x^2-y^2-7\right)^2=0\)

SURPRISE MOTHERFUKA !!

\(\left(x^2+4y^2+28\right)^2=17\left(x^4+y^4+14y^2+49\right)\)

đặt \(z=y^2+7;y\in N;z\in Z;z\ge7\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4z\right)^2=17\left(x^4+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+8x^2z+16z^2=17x^4+17z^2\)

\(\Leftrightarrow16x^4-8x^2z+z^2=0\Leftrightarrow\left(4x-z\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2=z\Leftrightarrow y^2+7=4x^2\Leftrightarrow\left(2x\right)^2-y^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x\right)^2=16\\y^2=9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x,y,\in N;\left(x;y\right)=\left(2;3\right)\)

a. \(x\left(x^2+x+1\right)=4y\left(y+1\right)\)

<=> \(x^3+x^2+x+1=4y^2+4y+1\)

<=> \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=\left(2y+1\right)^2\)là một số chính phương lẻ

=> \(x+1;x^2+1\) là 2 số lẻ (1)

Chứng minh: \(\left(x+1;x^2+1\right)=1\)

Đặt: \(\left(x+1;x^2+1\right)=d\)

=> \(\hept{\begin{cases}x-1⋮d\\x^2+1⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2-1⋮d\\x^2+1⋮d\end{cases}}}\)

=> \(\left(x^2+1\right)-\left(x^2-1\right)⋮d\)

=> \(2⋮d\)(2)

Từ (1) => d lẻ ( 3)

(2); (3) => d =1

Vậy  \(\left(x+1;x^2+1\right)=1\)

Có  \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\) là số chính phương

Từ  2 điều trên => \(\left(x+1\right),\left(x^2+1\right)\) là 2 số chính phương

Mặt khác \(x^2\) là số chính phương

Do đó: x = 0

Khi đó: \(4y\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\y=-1\end{cases}}\)

Vậy phương trình có nghiệm ( x; y) là ( 0; 0) hoặc (0; -1)