ta có

thay x = 2 ta đc

f(2) + 2f(1/2) = 4                (1)

thay x = 1/2 ta đc

f(1/2) + 2f(2) = 1/4

=> 2f(1/2) + 4f(2) = 1/2               (2)

từ (1) và (2) => ta có

2f(1/2) + 4f(2) = 1/2

-

f(2) + 2f(1/2) = 4

=

3f(2) = 1/2 - 4 = -7/2

=> f(2) = -7/6

Ta có \(f\left(x\right)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=x^2\)

Xét với x = a thì ta có \(f\left(a\right)+2f\left(\frac{1}{a}\right)=a^2\) (1)

Xét với x = \(\frac{1}{a}\) thì ta có \(f\left(\frac{1}{a}\right)+2f\left(a\right)=\frac{1}{a^2}\)(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra \(\hept{\begin{cases}f\left(a\right)+2f\left(\frac{1}{a}\right)=a^2\\f\left(\frac{1}{a}\right)+2f\left(a\right)=\frac{1}{a^2}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}f\left(a\right)+2f\left(\frac{1}{a}\right)=a^2\left(1\right)\\2f\left(\frac{1}{a}\right)+4f\left(a\right)=\frac{2}{a^2}\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (2) trừ (1) theo vế được \(3f\left(a\right)=\frac{2}{a^2}-a^2\Leftrightarrow f\left(a\right)=\frac{\frac{2}{a^2}-a^2}{3}=\frac{2-a^4}{3a^2}\)

Từ đó suy ra được \(f\left(x\right)=\frac{2-x^4}{3x^2}\)

Đến đây dễ dàng tính được f(2) 

Mình kí hiệu (1) (2) hai lần , bạn sửa lại chỗ đó nhé ^^

mình bít rồi kb nha

\(f\left(\frac{1}{3}\right)+2f\left(\frac{1}{\frac{1}{3}}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^2\Rightarrow f\left(\frac{1}{3}\right)+2f\left(3\right)=\frac{1}{9}\)(1)

\(f\left(3\right)+2f\left(\frac{1}{3}\right)=3^2\Rightarrow2f\left(3\right)+4f\left(\frac{1}{3}\right)=18\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow2f\left(3\right)+4f\left(\frac{1}{3}\right)-f\left(\frac{1}{3}\right)-2f\left(3\right)=18-\frac{1}{9}\)

\(\Rightarrow3f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{161}{9}\Rightarrow f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{161}{27}\)

Giải:

Ta có:

\(f\left(x\right)+3.f\left(\frac{1}{3}\right)=x^2\left(1\right)\)

\(\Rightarrow f\left(\frac{1}{x}\right)+3.f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}\)

\(\Rightarrow3.f\left(\frac{1}{x}\right)+9.f\left(x\right)=\frac{3}{x^2}\left(2\right)\)

Lấy \(\left(2\right)-\left(1\right)\) ta được:

\(9.f\left(x\right)-f\left(x\right)=\frac{3}{x^2}-x^2\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{3-x^4}{8x^2}\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)=\frac{3-2^4}{8.2^2}=\frac{-13}{32}\)

Vậy \(f\left(2\right)=\frac{-13}{32}\)

thêm điều kiện f(x) xác định mọi x khác 0."

Giải:

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(2\right)+3f\left(\dfrac{1}{2}\right)=2^2=4\left(1\right)\\f\left(\dfrac{1}{2}\right)+3f\left(2\right)=\dfrac{1}{4}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

lấy (2) nhân 3 trừ (1)

\(8.f\left(2\right)=\dfrac{3}{4}-4=-\dfrac{13}{4}\Rightarrow f\left(2\right)=\dfrac{-13}{32}\)

\(h\left(x\right)=f\left(x^2+1\right)-m\Rightarrow h'\left(x\right)=2x.f'\left(x^2+1\right)\)

\(h'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\f'\left(x^2+1\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2+1=2\\x^2+1=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\left\{-2;-1;0;1;2\right\}\)

Hàm có nhiều cực trị nhất khi \(h\left(x\right)=m\) có nhiều nghiệm nhất

\(f\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{5}{3}x^3-2x^2+20x+C\)

\(f\left(1\right)=0\Rightarrow C=-\dfrac{199}{12}\Rightarrow f\left(x\right)=-\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{5}{3}x^3-2x^2+20x-\dfrac{199}{12}\)

\(x=\pm2\Rightarrow x^2+1=5\Rightarrow f\left(5\right)\approx-18,6\)

\(x=\pm1\Rightarrow x^2+1=2\Rightarrow f\left(2\right)\approx6,1\)

\(x=0\Rightarrow x^2+1=1\Rightarrow f\left(1\right)=0\)

Từ đó ta phác thảo BBT của \(f\left(x^2+1\right)\) có dạng:

Từ đó ta dễ dàng thấy được pt \(f\left(x^2+1\right)=m\) có nhiều nghiệm nhất khi \(0< m< 6,1\)

\(\Rightarrow\) Có 6 giá trị nguyên của m

4. (3/4-81)(3^2/5-81)(3^3/6-81)....(3^6/9-81).....(3^2011/2014-81)

mà 3^6/9-81=0  => (3/4-81)(3^2/5-81)....(3^2011/2014-81)=0