a:Thay x=-2 và y=0 vào (d), ta được:

-2(m-1)+4=0

=>-2(m-1)=-4

=>m-1=2

=>m=3

b: (d): y=2x+4

a)  Từ phương trình tổng quát của đường thẳng, ta lấy được một vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)\) nên ta chọn vecto chỉ phương của đường thẳng d là: \(\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)\).

 Chọn điểm \(A\left( {1; - 2} \right) \in d\).Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 + t\end{array} \right.\) (t là tham số)

b)  Do điểm M thuộc d nên ta có: \(M\left( {1 + 2m; - 2 + m} \right);m \in \mathbb{R}\).

 Ta có: \(OM = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 + 2m} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + m} \right)}^2}}  = 5 \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m =  \pm 2\)

 Với \(m = 2 \Rightarrow M\left( {5;0} \right)\)

 Với \(m =  - 2 \Rightarrow M\left( { - 3; - 4} \right)\)

 Vậy ta có 2 điểm M thỏa mãn điều kiện đề bài.

c)  Do điểm N thuộc d nên ta có: \(N\left( {1 + 2n; - 2 + n} \right)\)

 Khoảng cách từ N đến trục hoành bằng giá trị tuyệt đối của tung độ điểm N. Do đó, khoảng cách tư N đến trục hoành bằng 3 khi và chỉ khi: \(\left| { - 2 + n} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n =  - 1\end{array} \right.\)

 Với \(n = 5 \Rightarrow N\left( {11;3} \right)\)

 Với \(n =  - 1 \Rightarrow N\left( { - 1; - 3} \right)\)

 Vậy có 2 điểm N thỏa mãn bài toán

Bạn tham khảo tại link sau:

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-d-2m-1xm-2y2tim-m-de-d-cach-goc-toa-do-1-khoang-lon-nhat.1037394248187

\(1,y=\left(m-2\right)x+3+1\)      \(\left(d\right)\)

\(\left(d\right)\) đi qua \(A\left(1;-1\right)\)

\(\Rightarrow-1=m-2+m+1\)

\(\Rightarrow m=0\)

\(2,y=1-3x\left(d'\right)\)

Để: \(\left(d\right)//\left(d'\right)\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=a'\\b\ne b'\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m-2=-3\\m+1\ne1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=-1\\m\ne0\end{cases}}\)

\(3,\) Gọi \(A\) là giao điểm của \(\left(d\right)\) với \(Ox\)

\(B\) là giao điểm của \(\left(d\right)\) với \(Oy\)

Tọa độ \(A:\hept{\begin{cases}\left(m-2\right)x+m+1=0\\y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{m+1}{2-m}\\y=0\end{cases}}\)

Tọa độ \(B:\hept{\begin{cases}x=0\\m+1=y\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=m+1\end{cases}}\)

Độ dài \(OA:\sqrt{\left(\frac{m+1}{2-m}\right)^2}=|\frac{m+1}{2-m}|\)

Độ dài \(OB:\sqrt{\left(m+1\right)^2}=|m+1|\)

Kẻ \(OH\perp AB\) ta được: \(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}\) 

\(\Leftrightarrow1=\frac{1}{\left(\frac{m+1}{2-m}\right)^2}+\frac{1}{\left(m+1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow1=\frac{\left(2-m\right)^2}{\left(m+1\right)^2}+\frac{1}{\left(m+1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2=m^2-4m+4+1\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1=m^2-4m+5\)

\(\Leftrightarrow m=\frac{2}{3}\)

Bài 1:

Đặt:  (d):  y = (m+5)x + 2m - 10

Để y là hàm số bậc nhất thì:  m + 5 # 0    <=>   m # -5

Để y là hàm số đồng biến thì: m + 5 > 0  <=>  m > -5

(d) đi qua A(2,3) nên ta có:

3 = (m+5).2 + 2m - 10

<=>  2m + 10 + 2m - 10 = 3

<=>  4m = 3

<=> m = 3/4

(d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9 nên ta có:

9 = (m+5).0 + 2m - 10

<=> 2m - 10 = 9

<=>  2m = 19

<=> m = 19/2

(d) đi qua điểm 10 trên trục hoành nên ta có:

0 = (m+5).10 + 2m - 10

<=> 10m + 50 + 2m - 10 = 0

<=>  12m = -40

<=> m = -10/3

(d) // y = 2x - 1  nên ta có:

\(\hept{\begin{cases}m+5=2\\2m-10\ne-1\end{cases}}\)   <=>   \(\hept{\begin{cases}m=-3\\m\ne\frac{9}{2}\end{cases}}\)  <=>  \(m=-3\)

Giả sử (d) luôn đi qua điểm cố định M(x₀; y₀)

Ta có:  \(y_0=\left(m+5\right)x_0+2m-10\)

<=>  \(mx_0+5x_0+2m-10-y_0=0\)

<=>  \(m\left(x_o+2\right)+5x_0-y_0-10=0\)

Để M cố định thì:  \(\hept{\begin{cases}x_0+2=0\\5x_0-y_0-10=0\end{cases}}\)   <=>   \(\hept{\begin{cases}x_0=-2\\y_0=-20\end{cases}}\)

Vậy...