với a,b,c là 3 số dương thỏa mãn a.b=d.c=1 .
Chứng minh: (a+b)(c+d) +4 \(\ge\) 2(a+b+c+d)
Những câu hỏi liên quan
với a,b,c,d là các số dương thỏ mãn: a.b=c.d=1
chứng minh rằng: (a+b).(c+d)+4>=2.(a+b+c+d)
Đặt a+b=x;c+d=ya+b=x;c+d=y ta cần chứng minh :xy+4≥2(x+y)⇔(x−2)(y−2)≥0xy+4≥2(x+y)⇔(x−2)(y−2)≥0
Mặt khác ta luôn có x=a+b≥2√ab=2;y=c+d≥2√cd=2x=a+b≥2ab=2;y=c+d≥2cd=2
Như vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=d=1
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số nguyên dương n,a,b,c,d thỏa mãn n2\(\le\)a<b\(\le\)c<d<(n+1)2. Chứng minh rằng |ad-bc|\(\ge\)1.
15 tháng 2 2021 lúc 12:24
1.Cho \(a,b,c,d\) là các số nguyên thỏa mãn \(a^3+b^3=2\left(c^3-d^3\right)\) . Chứng minh rằng a+b+c+d chia hết cho 3
2.Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Đúng 1
Bình luận (1)
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
Đúng 0
Bình luận (1)
cho a, b, c, d là 4 số nguyên dương thỏa mãn: b=a+c/2 và 1/c=1/2.(1/b+1/d) Chứng minh rằng a/b=c/d
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: \(a^2+2b^2\le3c^2\). Chứng minh: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\ge\dfrac{3}{c}\)
Tham khảo: https://lazi.vn/edu/exercise/cho-a-b-c-la-cac-so-duong-thoa-man-a2-2b2-3c2-chung-minh-1-a-2-b-3-c
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho a,b,c,d dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2+d^2=4.\)Chứng minh:
\(16\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\left(2-d\right)\ge\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+d\right)\left(d+a\right)\)
Câu 1:
a, Giả sử n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện n(n+1) +6 không chia hết cho 3. Chứng minh rằng 2n^2+n+8 không là số chính phương
b, cho 4 số dương a;b;c;d thỏa mãn điều kiện a^4/b + c^4/d = 1/(b+d) và a^2 + c^2 =1 . Chứng minh rằng (a^2014)/(b^1007) + ( c^ 2014)/(d^1007) = 2/( b+d)^1007
.Mọi người giải giúp Linh nha ^^ Linh đang cần gấp ạ!
Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a + b + c + d = 4. Chứng minh rằng:
a/b^2+1 + b/c^2+1 +c/d^2+1 +d/a^2+1 >=2
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)
Áp dụng tương tự ta được
\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+d^2}\ge c-\frac{cd}{2};\frac{d}{1+a^2}\ge c-\frac{da}{2}\)
Tương tự ta cũng được
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}=\frac{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{2}\le\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{8}=2\)
Do vậy ta được \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=1
Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c=3.Chứng minh rằng:\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự : \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\) ; \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ac}{2}\)
Cộng theo vế : \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge3-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ac\right)\ge3-\frac{1}{2}.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)